A3 (базовый уровень, время – 2 мин)

Тема: Построение таблиц истинности логических выражений.

Про обозначения

К сожалению, обозначения логических операций И, Либо и НЕ, принятые в «важной» математической логике (U,U,), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с простой алгеброй. Создатель, к собственному стыду, до сих пор время от времени путает U и U. Исходя из этого на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (потому, что это все же логическое умножение), а «Либо» – знаком «+» (логическое сложение).
В различных книжках применяют различные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (U,U,), что еще раз подчеркивает проблему.

Что необходимо знать:

A, не A (отрицание, инверсия)

A U B, A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A U B, A либо B (логическое сложение, дизъюнкция)

AB импликация (следование)

AºB эквивалентность (равносильность)

  • операцию «импликация» возможно выразить через «Либо» и «НЕ»:

AB = A U Bили в других обозначениях AB =

  • время от времени для упрощения выражений нужны формулы де Моргана:

(A U B) = A U B

(A U B) = A U B

  • в случае если в выражении нет скобок, сперва выполняются все операции «НЕ», после этого – «И», после этого – «Либо», «импликация», и самая последняя – «эквивалентность»
  • таблица истинности выражения определяет его значения при всех вероятных комбинациях данных
  • в случае если известна лишь часть таблицы истинности, соответствующее логическое выражение конкретно выяснить запрещено, потому, что частичной таблице смогут соответствовать пара различных логических выражений (не совпадающих для других вариантов входных данных);
  • количество различных логических выражений, удовлетворяющих неполной таблице истинности, равняется , где – число отсутствующих строчков; к примеру, полная таблица истинности выражения с тремя переменными содержит 23=8 строчек, в случае если заданы лишь 6 из них, то возможно отыскать 28-6=22=4 различных логических выражения, удовлетворяющие этим 6 строкам (но отличающиеся в двух оставшихся)
  • логическая сумма A + B + C + … равна 0 (выражение ложно) тогда и лишь тогда, в то время, когда все слагаемые в один момент равны нулю, а в остальных случаях равна 1 (выражение действительно)
  • логическое произведение A · B · C · … равняется 1 (выражение действительно) тогда и лишь тогда, в то время, когда все сомножители в один момент равны единице, а в остальных случаях равняется 0 (выражение ложно)
  • логическое следование (импликация) АВ равна 0 тогда и лишь тогда, в то время, когда из A (посылка) подлинна, а B (следствие) ложно
  • эквивалентность АºB равна 1 тогда и лишь тогда, в то время, когда оба значения в один момент равны 0 либо в один момент равны 1

Пример задания:

Знаком F обозначено одно из нижеуказанных логических выражений от трех доводов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z 2) X U Y U Z 3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

Ответ (главной вариант):

1) необходимо для каждой строки подставить заданные значения X, Y и Z во все функции, заданные в ответах, и сравнить результаты с соответствующими значениями F для этих данных

2) в случае если для какой-нибудь комбинации X, Y и Z итог не сходится с соответствующим значением F, оставшиеся строки возможно не рассматривать, потому, что для верного ответа все три результата должны совпасть со значениями функции F

3) перепишем ответы в других обозначениях:
1) 2) 3) 4)

4) первое выражение, , равняется 1 лишь при , исходя из этого это неверный ответ (первая строка таблицы не подходит)

5) второе выражение, , равняется 1 лишь при , исходя из этого это неверный ответ (первая и вторая строки таблицы не подходят)

6) третье выражение, , равняется нулю при , исходя из этого это неверный ответ (вторая строка таблицы не подходит)

7) наконец, четвертое выражение, равняется нулю лишь тогда, в то время, когда , а в остальных случаях равняется 1, что сходится с приведенной частью таблицы истинности

8) так, верный ответ – 4 ; частичная таблица истинности для всех выражений имеет следующий вид:

X Y Z F
0 ? 0 ?
0 ?

(красный крестик говорит о том, что значение функции не сходится с F, а символ «–» свидетельствует, что вычислять оставшиеся значения не обязательно).

проблемы и Возможные ловушки: · важные сложности воображает используемая в заданиях ЕГЭ форма записи логических выражений с «закорючками», исходя из этого рекомендуется сперва пристально перевести их в «удобоваримый» вид; · расчет на то, что ученик перепутает значки U и U (неверный ответ 1) · в некоторых случаях заданные выражения-ответы лучше сперва упростить, в особенности если они содержат импликацию либо инверсию сложных выражений (как упрощать – см. разбор задачи А10)

Ответ (вариант 2):

1) довольно часто верный ответ – это самая несложная функция, удовлетворяющая частичной таблице истинности, другими словами, имеющая единственный нуль либо единственную единицу в полной таблице истинности

2) в этом случае возможно отыскать такую функцию и проверить, имеется ли она среди данных ответов

3) в приведенной задаче в столбце F имеется единственный нуль для комбинации

4) выражение, которое имеет единственный нуль для данной комбинации, это , оно имеется среди приведенных ответов (ответ 4)

5) так, верный ответ – 4

Вероятные неприятности: · способ применим не неизменно, другими словами, отысканная в п. 4 функция может отсутствовать среди ответов

Еще пример задания:

Знаком F обозначено одно из нижеуказанных логических выражений от трех доводов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z 2) X U Y U Z 3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

Ответ (вариант 2):

1) перепишем ответы в других обозначениях:
1) 2) 3) 4)

2) в столбце F имеется единственная единица для комбинации , несложная функция, подлинная (лишь) для этого случая, имеет форму , она имеется среди приведенных ответов (ответ 3)

3) так, верный ответ – 3.

Задачи для тренировки[1]:

1) Знаком F обозначено одно из нижеуказанных логических выражений от трех доводов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z 3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

2) Знаком F обозначено одно из нижеуказанных логических выражений от трех доводов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z 3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

3) Знаком F обозначено одно из нижеуказанных логических выражений от трех доводов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z 3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

4) Знаком F обозначено одно из нижеуказанных логических выражений от трех доводов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z 3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

5) Знаком F обозначена логическая функция от двух доводов (A и B), заданная таблицей истинности. Какое выражение соответствует F?

1) A(A U B)2) A U B 3) AB 4) A U B

6) Знаком F обозначено одно из нижеуказанных логических выражений от трех доводов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z 3) X U (Y U Z) 4) (X U Y) U Z

7) Знаком F обозначено одно из нижеуказанных логических выражений от трех доводов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z 3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

8) Знаком F обозначено одно из нижеуказанных логических выражений от трех доводов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) (X U Y) U Z2) (X U Y) U Z3) (X U Y) U Z 4) (X U Y) U Z

9)

X Y Z F

Знаком F обозначено одно из нижеуказанных логических выражений от трех доводов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

10) Знаком F обозначена логическая функция от двух доводов (A и B), заданная таблицей истинности. Какое выражение соответствует F?

1) A((A U B))2) A U B 3) AB 4) A U B

11)

X Y Z F

Знаком F обозначено одно из нижеуказанных логических выражений от трех доводов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

12)

X Y Z F

Знаком F обозначено одно из нижеуказанных логических выражений от трех доводов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

13)

X Y Z F

Знаком F обозначено одно из нижеуказанных логических выражений от трех доводов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

14)

X Y Z F

Знаком F обозначено одно из нижеуказанных логических выражений от трех доводов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

15)

X Y Z F

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

16)

X Y Z F

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z3) (X U Y) U Z 4) (X U Y) Z

17)

X Y Z F

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) (X U Y)Z2) (X U Y)Z3) X U (YZ) 4) X U Y U Z

18)

X Y Z F

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) (X U Y)Z3) (X U Y)U Z 4) XY U Z

19)

X Y Z F

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) (XY)Z2) X(YZ)3) X U YZ 4) X U Y U Z

20)

X Y Z F

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) (X U Y) U Z2) X U Y U Z3) (XY) U Z 4) X U(Y U Z)

21)

X Y Z F

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) (XZ)U Y2) X U Y U Z3) X U Y U Z 4) X U(Y Z)

X Y Z F

22) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) (X U Y)Z3) (X U Y)U Z 4) X(Y U Z)

X Y Z F

23) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) (X U Y)Z2) (X U Y)Z3) X U(YZ) 4) X U Y U Z

X Y Z F

24) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

X Y Z F

25) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

X Y Z F

26) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

X Y Z F

27) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

X Y Z F

28) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

X Y Z F

29) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) (X ~ Z) U (XY)2) (X ~ Z) U (XY)

3) (X ~ Z) U (XY) 4) (X ~ Z) U (YZ)

Символ ~ свидетельствует «эквивалентность», другими словами «X ~ Z» значит «значения XиZ совпадают».

X Y Z F

30) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U Y U Z2) X U Y U Z3) X U (Y U Z)
4) (X U Y) U Z

A B C F

31) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) A U B U A U C2) A U C U A U B3) A U C U A U С
4) A U(C U B) U C

A B C F

32) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) AB U C2) AB U C3) AB U C
4) (AB)C

X Y Z F

33) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) (X U Y) U Z2) X U Y U Z3) X U Y U Z 4) X U Y U Z

X Y Z F

34) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) X U YZ2) X U YZ3) X U ZY 4) X U ZY

A B C F

35) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) (AB) U C2) (A U B)U C3) (A U B)C 4) (A U B)C

X Y Z F

36) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) XZ U Y2) Z(XY)3) (X U Y)U Z 4) X U (YU Z)

X Y Z F

37) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

1) XZ U Y2) ZX U Y3) (X U Y)U Z 4) X U YZ

[1] Источники заданий:

1. Демонстрационные варианты ЕГЭ 2004-2009 гг.

2. Гусева И.Ю. ЕГЭ. Информатика: раздаточный материал тренировочных тестов. — СПб: Тригон, 2009.

3. Якушкин П.А., Лещинер В.Р., Кириенко Д.П. ЕГЭ 2010. Информатика. Типовые тестовые задания. — М.: Экзамен, 2010, 2011.

4. Якушкин П.А., Ушаков Д.М. Самое полное издание типовых вариантов настоящих заданий ЕГЭ 2010. Информатика. — М.: Астрель, 2009.

5. Абрамян М.Э., Михалкович С.С., Русанова Я.М., Чердынцева М.И. Информатика. ЕГЭ ход за шагом. — М.: НИИ школьных разработок, 2010.

6. Чуркина Т.Е. ЕГЭ 2011. Информатика. Тематические тренировочные задания. — М.: Эксмо, 2010.

7. Самылкина Н.Н., Островская Е.М. ЕГЭ 2011. Информатика. Тематические тренировочные задания. — М.: Эксмо, 2010.

Русский язык. 9 класс, 2013. Занятие 2, подготовка к ГИА. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: