Аксиоматика теории вероятности.

Построение вероятностного пространства.

Последовательно строим вероятностное пространство.

Этап 1:

Имеется опробование. В следствии проведения опробования может наблюдаться одно

событие из серии событий e. Все события из совокупности e именуются замечаемыми.

Введем предположение, что в случае если события A I e, B I e замечаемы,

то замечаемы и события

.

Совокупность событий F именуется полем событий либо алгеброй событий, в случае если для

двух произвольных событий A, B I F выполняется:

1) Дополнения

2) (A+B) I F, (A?B) I F

3) все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре

4) все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре

5) все дополнения конечных произведений и сумм принадлежат алгебре.

Так, совокупность e мы расширяем до алгебры либо поля F методом включения

всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т.е. думаем, что в

результате проведения опробования замечаемая совокупность есть полем либо

алгеброй.

Множество всех подмножеств конечного числа событий есть замечаемой

совокупностью — алгеброй, полем.

Этап 2:

Каждому событию A I F ставим в соответствие число P(A), которое именуется

возможностью наступления события A. Такая операция задает вероятностную

меру.

Вероятностная мера — числовая скалярная функция, доводами которой

являются элементы из совокупности алгебры F. Введенная вероятностная мера

удовлетворяет совокупности из трех теорем.

1.

2. P(U)=1.

3. Разглядим конечную либо нескончаемую совокупность попарно несовместных

событий, каждое из которых в собственности алгебре F.

. В случае если , то .

Алгебра событий именуется s — алгеброй, в случае если эта совокупность событий содержит в

себе все произведения и конечные суммы из алгебры F и их дополнения, и

все произведения и бесконечные суммы из их дополнения и алгебры.

Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все

конечные промежутки вида a³xb, b¹a.

Распространение данной алгебры на s — алгебру ведет к понятию борелевской

алгебры, элементы которой именуются направляться множествами. Борелевская

алгебра получается не только расширением поля вида a³xb, но и

расширением полей вида ax³b, a³x³b.

Над замечаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера —

числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F, т.е.

события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-теоремам теории возможности.

1.

. P(A) — число, находящиеся в собствености сегменту [0, 1] и именующееся возможностью

наступления события A.

2. P(A) I [0, 1] P(U)=1.

3. Пускай имеется A1, A2, A3,…, Ak — совокупность попарно несовместных событий

В случае если , то .

Лекция 1.

Предмет теории возможностей. Случайные события. Алгебра событий. Относитель-ная вероятность и частота случайного события. Полная несколько событий. Классичес-кое определение возможности. Фундаментальные особенности возможности. Главные формулы комбинаторики.

В разных разделах науки и техники часто появляются обстановке, в то время, когда итог каждого из многих проводимых опытов заблаговременно предугадать нереально, но возможно изучить закономерности, появляющиеся при проведении серии опытов. Запрещено, напри-мер, совершенно верно сообщить, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб либо цифра — но при солидном количестве бросков число выпадений герба приближается к по-ловине количества бросков; запрещено заблаговременно угадать итог одного выстрела из дан-ного орудия по данной цели, но при солидном числе выстрелов частота попадания прибли-жается к некоему постоянному числу. Изучение вероятностных закономерностей массовых однородных явлений образовывает предмет теории возможностей.

Главным интуитивным понятием хорошей теории возможностей есть случайное событие. События, каковые смогут случиться в следствии опыта, возможно подразделить на три вида:

а) точное событие — событие, которое постоянно происходит при проведении опыта;

б) неосуществимое событие — событие, которое в следствии опыта случиться не имеет возможности;

в) случайное событие — событие, которое может или случиться, или не случиться. К примеру, при броске игральной кости точным событием есть выпадение числа очков, не превышающего 6, неосуществимым — выпадение 10 очков, а случайным — выпадение 3 очков.

Алгебра событий.

Определение 1.1. Суммой А+В двух событий А и В именуют событие, пребывающее в том, что случилось хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответ-ственно, именуется событие, заключающееся в том, что случилось хотя бы одно из этих событий.

Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. В случае если событие А — попадание первого стрелка, а событие В — второго, то сумма А+В — это хотя бы одно попадание при двух выстрелах.

Пример 2. В случае если при броске игральной кости событием Аi назвать выпадение i очков, то выпадение нечетного числа очков есть суммой событий А1+А2+А3.

Назовем все вероятные результаты данного опыта его финалами и предположим, что множество этих финалов, при которых происходит событие А (финалов, благоприятных событию А), возможно представить в виде некоей области на плоскости. Тогда множество финалов, при которых случится событие А+В, есть объединением множеств финалов, благоприятных событиям А либо В (рис. 1).

А В А + В

Рис.1.

Определение 1.2. Произведением АВсобытий А и В именуется событие, пребывающее в том, что случилось и событие А, и событие В. Подобно произведением нескольких событийназывается событие, заключающееся в том, что случились все эти события.

Пример 3. В примере 1 ( два выстрела по мишени) событием АВ будет попадание обоих стрелков.

Пример 4. В случае если событие А пребывает в том, что из колоды карт извлечена карта пиковой масти, а событие В — в том, что из колоды вынута женщина, то событием АВ будет извлечение из колоды пиковой дамы.

Геометрической иллюстрацией множества финалов опыта, благоприятных появлению произведения событий А и В, есть пересечение областей, соответствующих финалам, благоприятным А и В.

А В АВ

Рис.2.

Определение 1.3. Разностью А\B событий А и В именуется событие, пребывающее в том, что А случилось, а В — нет.

Пример 5. Возвратимся к примеру 1, где А\ В — попадание первого стрелка при промахе второго.

Пример 6. В примере 4 А\В — извлечение из колоды любой карты пиковой масти, не считая женщины. Напротив, В \А — извлечение женщины любой масти, не считая пик.

А В А — В

Рис.3.

Введем еще пара категорий событий.

Определение 1.4. События А и В именуются совместными, если они смогут случиться оба в следствии одного опыта. В другом случае (другими словами если они не смогут случиться в один момент) события именуются несовместными.

Примеры: совместными событиями являются попадания двух стрелков в примере 1 и появление карты пиковой масти и женщины в примере 4; несовместными — события А1 — А6 в примере 2.

Замечание 1. В случае если изобразить графически области финалов опыта, благоприятных несовместным событиям, то они не будут иметь неспециализированных точек.

Замечание 2. Из определения несовместных событий направляться, что их произведение есть неосуществимым событием.

Определение 1.5. Говорят, что события А1, А2,…,Ап образуют полную группу, в случае если в следствии опыта в обязательном порядке случится хотя бы одно из событий данной группы.

Замечание. В частности, в случае если события, образующие полную группу, попарно несовмест-ны, то в следствии опыта случится одно и лишь одно из них. Такие события называютэлементарными событиями.

Пример. В примере 2 события А1 — А6 (выпадение одного, двух,…, шести очков при одном броске игральной кости) образуют полную группу несовместных событий.

Определение 1.6. События именуются равновозможными, в случае если нет оснований вычислять, что одно из них есть более вероятным, чем второе.

Примеры: выпадение любого числа очков при броске игральной кости, появление любой карты при случайном извлечении из колоды, выпадение герба либо цифры при броске монеты и т.п.

Лекция №7 по теории возможностей. Аксиоматика Колмогорова. Широков М.Е.


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: