Б1. 35. фундаментальная последовательность

Фундаментальная последовательность (последовательность Коши, сходящаяся в себе последовательность) – последовательность{xn}, удовлетворяющая следующему условию Коши:

Для любого ? 0 существует такое n, что для всех n N, m N выполняется неравенство |xn – xm| ?.

Тут xn – настоящее либо комплексное число либо точка метрического пространства, |xn – xm| – расстояние между числами xn и xm либо между точками xn и xm этого пространства.

Каждая сходящаяся последовательность фундаментальна. Пространство, в котором правильно и числа обратное утверждение, именуется полным. Множество настоящих чисел и множество комплексных чисел – примеры полных пространств, а, скажем, множество рациональных чисел – нет: последовательность рациональных значений , забранных с недочётом (т.е. последовательность 1; 1,4; 1,41; …), сходится, но её предел не есть рациональным числом.

Задание. Доказать сходимость последовательности , применяя критерий Коши.

Подтверждение. Продемонстрируем сначала, что заданная последовательность есть фундаментальной, другими словами для любого , : : :

Так, для любого существует номер , соответственно разглядываемая последовательность есть фундаментальной, а тогда по критерию Коши она есть сходящейся.

Б1. 36. Полное метрическое пространство

Полное метрическое пространство – метрическое пространство, в котором любая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).

В большая часть случаев разглядывают как раз полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность разглядывать исходное пространство как плотное множество в собственном пополнении. Операция пополнения во многом подобна операции замыкания для подмножеств.

Пополнение.

Всякое метрическое пространство возможно положить в полное метрическое пространство так, что метрика – продолжает метрику Х, а подпространство Х везде хорошо в . Такое пространство – именуется пополнением Х и в большинстве случаев обозначается .

Построение.

Для метрического пространства , на множестве фундаментальных последовательностей в Х возможно ввести отношения эквивалентности

Возможно классов эквивалентности – с метрикой, определенной

,

есть метрическим пространством. Само пространство изометрически вкладывается в него следующим образом: точке соответствует класс постоянной последовательности . Оказавшееся пространство и будет пополнением .

Свойства:

  • Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
  • Полнота наследует замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
  • Метрическое пространство компактно тогда и лишь тогда, в то время, когда оно полно и в полной мере ограничено, другими словами для любого пространство возможно покрыть конечным числом шаром радиуса
  • Топологическим свойством есть наличие хотя бы одной полной метрики в классе метрик, порождающих топологию метрического пространства

Примеры:

  • Множество вещественных чисел полно в стандартной метрике

  • По большому счету, любое конечномерное евклидово либо унитарное пространство полно
  • Свойство полноты есть необходимым в определении банахова пространства, в частности гильбертова пространства.
  • Пространство постоянных на отрезке функций с равномерной метрикой есть полным метрическим пространством, а потому есть банаховым, в случае если разглядывать его как нормированное линейное пространсво.

Матанализ 1. Лекция 7a. Фундаментальная последовательность


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: