Действия над множествами. диаграммы венна

Диаграммы Венна (по аналогии с кругами Эйлера) – это схематическое изображение действий с множествами. Снова же даю предупреждение, что я разгляжу не все операции:

1) Пересечение множеств характеризуется логической связкой И и обозначается значком

Пересечением множеств и именуется множество , любой элемент которого в собственности и множеству , и множеству . Грубо говоря, пересечение – это неспециализированная часть множеств:

Так, к примеру, для множеств :

В случае если у множеств нет однообразных элементов, то их пересечение пусто. Таковой пример нам только что встретился при рассмотрении числовых множеств:

Множества рациональных и иррациональных чисел возможно схематически изобразить двумя непересекающимися кругами.

Операция пересечения применима и для бОльшего количества множеств, в частности в Википедии имеется хороший пример пересечения множеств букв трёх алфавитов.

2) Объединение множеств характеризуется логической связкой Либо и обозначается значком

Объединением множеств и именуется множество , любой элемент которого в собственности множеству либо множеству :

Запишем объединение множеств :
– грубо говоря, тут необходимо перечислить все элементы множеств и , причём однообразные элементы (в этом случае единица на пересечении множеств) направляться указать один раз.

Но множества, очевидно, смогут и не пересекаться, как это имеет место быть с рациональными и иррациональными числами:

В этом случае возможно изобразить два непересекающихся заштрихованных круга.

Операция объединения применима и для бОльшего количества множеств, к примеру, в случае если , то:

, наряду с этим числа вовсе не обязательно располагать в порядке возрастания (это я сделал только из эстетических мыслей). Не мудрствуя лукаво, итог возможно записать и без того:

3) Разностью множеств и именуют множество , любой элемент которого в собственности множеству и не в собственности множеству :

Разность читаются следующим образом: «а без бэ». И рассуждать возможно совершенно верно так же: разглядим множества . Дабы записать разность , необходимо из множества «выкинуть» все элементы, каковые имеется во множестве :

Пример с числовыми множествами:
– тут из множества целых чисел исключены все натуральные, да и сама запись так и читается: «множество целых чисел без множества натуральных».

Зеркально: разностью множеств и именуют множество , любой элемент которого в собственности множеству и не в собственности множеству :

Для тех же множеств
– из множества «выкинуто» то, что имеется во множестве .

А вот эта разность выясняется безлюдна: . И в действительности – в случае если из множества натуральных чисел исключить целые числа, то, фактически, ничего и не останется :)

Помимо этого, время от времени разглядывают симметрическую разность , которая объединяет оба «полумесяца»:
– иными словами, это «всё, не считая пересечения множеств».

4) Декартовым (прямым) произведениеммножеств и именуется множество всех упорядоченных пар , в которых элемент , а элемент

Запишем декартово произведение множеств :
– перечисление пар комфортно осуществлять по следующему методу: «сперва к 1-му элементу множества последовательно присоединяем любой элемент множества , после этого ко 2-му элементу множества присоединяем любой элемент множества , после этого к 3-му элементу множества присоединяем любой элемент множества »:

Зеркально: декартовым произведениеммножеств и именуется множество всех упорядоченных пар , в которых . В отечественном примере:
– тут схема записи подобна: сперва к «минус единице» последовательно присоединяем все элементы множества , после этого к «дэ» – те же самые элементы:

Но это чисто для удобства – и в том, и в другом случае пары возможно перечислить в каком угодно порядке – тут принципиально важно записать все вероятные пары.

А сейчас гвоздь программы: декартово произведение – это имеется ни что иное, как множество точек отечественной родной декартовой совокупности координат .

Задание для независимого закрепления материала:

Выполнить операции , в случае если:

1) ;
2)

Множество комфортно расписать перечислением его элементов.

И пунктик с промежутками настоящих чисел:

3)

Напоминаю, что квадратная скобка свидетельствует включение числа в промежуток, а круглая – его невключение, другими словами «минус единица» в собственности множеству , а «тройка» не в собственности множеству . Попытайтесь разобраться, что представляет собой декартово произведение данных множеств. В случае если появятся затруднения, выполните чертёж ;)

Краткое ответ задачи в конце урока.

Отображение множеств

Отображение множества во множество – это правило, по которому каждому элементу множества ставится в соответствие элемент (либо элементы) множества . В том случае в случае если в соответствие ставится единственный элемент, то данное правило именуется конкретно определённой функцией либо легко функцией.

Функцию, как многие знают, значительно чаще обозначают буквой – она ставит в соответствие каждому элементу единственное значение , принадлежащее множеству .

Ну а на данный момент я опять побеспокою множество студентов 1-го последовательности и предложу им 6 тем для рефератов (множество ):

Векторы
Матрицы
Определители
Комплексные числа (о, да!)
Теория пределов
Что такое производная?

Установленное (добровольно либо принудительно =)) правило ставит в соответствие каждому студенту множества единственную тему реферата множества .

…а вы, возможно, и представить себе не могли, что сыграете роль довода функции =) =)

Элементы множества образуют область определенияфункции (обозначается через ), а элементы множества – область значений функции (обозначается через ).

Выстроенное отображение множеств имеет крайне важную чёрта: оно есть взаимно-однозначным либо биективным(биекцией). В данном примере это указывает, что каждому студенту поставлена в соответствие одна неповторимая тема реферата, и обратно – за каждой темой реферата закреплён только один студент.

Но не нужно думать, что всякое отображение биективно. В случае если на 1-й последовательность (к множеству ) добавить 7-го студента, то взаимно-однозначное соответствие пропадёт – или один из студентов останется без темы (отображения не будет по большому счету), или какая-то тема дастся сходу двум студентам. Обратная обстановка: в случае если к множеству добавить седьмую тему, то взаимнооднозначность отображения также будет потеряна – одна из тем останется невостребованной.

Глубокоуважаемые студенты на 1-м последовательности, не расстраивайтесь – остальные 20 человек по окончании пар отправятся прибирать территорию университета от осенней листвы. Завхоз выдаст двадцать голиков, по окончании чего будет установлено взаимно-однозначное соответствие между основной частью группы и мётлами…, а Вольдемар ещё и в магазин сбегать успеет =)

Сейчас разберёмся со «школьной» функцией одной переменной. Прошу вас, посмотрите на страницу Функции и графики (отроется на соседней вкладке), и в Примере 1 отыщите график линейной функции .

Задумаемся, что это такое? Это правило , которое каждому элементу области определения(в этом случае это все значения «икс») ставит в соответствие единственное значение . С теоретико-множественной точки зрения, тут происходит отображение множества настоящих чисел во множество настоящих чисел:

Первое множество мы по-обывательски именуем «иксами» (свободная переменная либо довод), а второе – «игреками» (зависимая переменная либо функция ).

Потом посмотрим на ветхую привычную параболу . Тут правило каждому значению «икс» ставит в соответствие его квадрат, и имеет место отображение:

Итак, что же такое функция одной переменной? Функция одной переменной – это правило , которое каждому значению свободной переменной из области определения ставит в соответствие одно и лишь одно значение .

Как уже отмечалось в примере со студентами, не любая функция есть взаимно-однозначной. Так, к примеру, у функции каждому «иксу» области определения соответствует собственный неповторимый «игрек», и напротив – по любому значению «игрек» мы сможем конкретно вернуть «икс». Так, это биективная функция.

!На всякий случай ликвидирую вероятное недопонимание: моя постоянная оговорка об области определения не случайна! Функция возможно выяснена далеко не при всех «икс», и, помимо этого, возможно взаимно-однозначной и в этом случае. Обычный пример:

А вот у квадратичной функции не отмечается ничего аналогичного, во-первых:
– другими словами, разные значения «икс» отобразились в одно да и то же значение «игрек»; и во-вторых: в случае если кто-то вычислил значение функции и сказал нам, что , то не ясно – данный «игрек» взят при либо при ? Что и сказать, обоюдной однозначностью тут кроме того не пахнет.

Задание 2: просмотреть графики главных элементарных функций и выписать на листок биективные функции. Перечень для сверки в конце этого урока.

Мощность множества

Интуиция подсказывает, что термин характеризует размер множества, в частности количество его элементов. И интуиция нас не обманывает!

Мощность безлюдного множества равна нулю.

Мощность множества равна шести.

Мощность множества букв русского алфавита равна тридцати трём.

И по большому счету – мощность любого конечного множества равняется количеству элементов данного множества.

…быть может, не все до конца знают, что такое конечное множество – в случае если начать пересчитывать элементы этого множества, то непременно счёт завершится. Что именуется, и китайцы когда-нибудь закончатся.

Само собой, множества возможно сравнивать по мощности и их равенство в этом смысле именуется равномощностью. Равномощность определяется следующим образом:

Два множества являются равномощными, в случае если между ними возможно установить взаимно-однозначное соответствие.

Множество студентов равномощно множеству тем рефератов, множество букв русского алфавита равномощно любому множеству из 33 элементов и т.д. Увидьте, что именно любому множеству из 33 элементов – в этом случае имеет значение только их количество. Буквы русского алфавита возможно сопоставить не только с множеством номеров
1, 2, 3, …, 32, 33, но и по большому счету со стадом в 33 коровы.

Значительно более весьма интересно обстоят дела с нескончаемыми множествами. Бесконечности также бывают различными! …зелёными и красными Самые «мелкие» нескончаемые множества – это счётные множества. В случае если совсем легко, элементы для того чтобы множества возможно пронумеровать. Эталонный пример – это множество натуральных чисел . Да – оно вечно, но у каждого его элемента в ПРИНЦИПЕ имеется номер.

Примеров довольно много. В частности, счётным есть множество всех чётных натуральных чисел . Как это доказать? Необходимо установить его взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел либо попросту пронумеровывать элементы:

Взаимно-однозначное соответствие установлено, следовательно, множества равномощны и множество счётно. Парадоксально, но с позиций мощности – чётных натуральных чисел столько же, сколько и натуральных!

Множество целых чисел также счётно. Его элементы возможно занумеровать, к примеру, так:

Более того, счётно и множество рациональных чисел . Потому, что числитель – это целое число (а их, как только что продемонстрировано, возможно пронумеровать), а знаменатель – натуральное число, то непременно мы «доберёмся» до любой рациональной дроби и присвоим ей номер.

А вот множество настоящих чисел уже несчётно, т.е. его элементы пронумеровать нереально. Этот факт строго доказывается в теории множеств, но, в неспециализированном-то, он и без того очевиден – во множестве содержится тьма иррациональных чисел с нескончаемыми дробными «хвостами», в которых не отмечается никакой закономерности.

Мощность множества настоящих чисел кроме этого именуют континуумом, и по сравнению со счётными множествами это «более нескончаемое» множество.

Потому, что между числовой прямой и множеством существует взаимно-однозначное соответствие (см. выше), то множество точек числовой прямой также несчётно. И более того, что на километровом, что на миллиметровом отрезке – точек столько же! Хороший пример:

Поворачивая луч против часовой стрелки до его совмещения с лучом мы установим взаимно-однозначное соответствие между точками светло синий отрезков. Так, на отрезке столько же точек, сколько и на отрезке и !

Этот парадокс, по всей видимости, связан с тайной бесконечности… но мы на данный момент не будем забивать голову проблемами мироздания, потому что на очереди базы математической логики, а не философия =)

Благодарю за внимание и удач вам в учёбе!

Ответ заданий:

Задание 1

1)

2)
– это множество нечётных натуральных чисел:

3)

– все точки координатной плоскости , удовлетворяющие двум указанным неравенствам. Подобно:

Задание 2Взаимно-однозначные функции на иллюстрациях урокаФункции и графики:

Создатель: Емелин Александр

Действия над множествами


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: