Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Определение числового его сходимости и ряда.

Нужный показатель сходимости

Пускай – нескончаемая последовательность чисел.

Определение. Выражение

, (1)

либо, что то же самое, , именуется числовым рядом, а числа

– участниками последовательности. Член с произвольным номером именуется n-м, либо неспециализированным участником последовательности.

Само по себе выражение (1) никакого определенного числового смысла не имеет, по причине того, что, вычисляя сумму, мы любой раз имеем дело только с конечным числом слагаемых. Выяснить суть этого выражения самый конечно следующим образом.

Пускай дан последовательность (1).

Определение. Сумма nпервых участников последовательности

именуется n-й частичной суммой последовательности. Образуем последовательность частичных сумм:

С неограниченным повышением числа n в сумме учитывается все большее число участников последовательности. Исходя из этого разумно дать такое определение.

Определение. В случае если при существует конечный предел последовательности частичных сумм последовательности (1), то последовательность именуется сходящимся и число именуется его суммой.

В случае если последовательность не пытается к пределу, то последовательность именуется расходящимся. Напомним, что последовательность может расходиться в двух случаях: 1) в случае если , 2) в случае если колеблющаяся. И в том и другом случае говорят, что последовательность суммы не имеет.

Пример 1. Разглядим последовательность, составленный из участников геометрической прогрессии:

, (2)

где – именуется первым участником прогрессии, а – ее знаменателем.

Частичная сумма этого последовательности при имеет форму

.

Из этого:

1) в случае если , то

,

т.е. последовательность геометрической прогрессии сходится и его сумма .

В частности, в случае если , последовательность сходится и его сумма .

При последовательность кроме этого сходится и его сумма .

2) в случае если , то , т.е. последовательность (2) расходится.

3) в случае если , то последовательность (2) принимает вид . В этом случае

и , т.е. последовательность расходится (при ).

4) в случае если , то последовательность (2) принимает вид . Для этого последовательности

, а ,

т.е. есть колеблющейся и не существует, следовательно, последовательность кроме этого расходится (при ).

Вычисление суммы последовательности конкретно по определению весьма некомфортно из-за трудности явного вычисления частичных нахождения и сумм предела их последовательности. Но, в случае если установлено, что последовательность сходится, его сумму возможно вычислить приближенно, т.к. из определения предела последовательности направляться, что при больших . Исходя из этого при изучении последовательностей достаточно

1) знать приемы, разрешающие констатировать сходимость последовательности без нахождения его суммы;

2) мочь выяснить , при котором частичная сумма приближает сумму последовательности с определенной точностью.

Сходимость числовых последовательностей устанавливается посредством теорем, каковые именуются показателями сходимости.

Нужный показатель сходимости

В случае если последовательность сходится, то его неспециализированный член пытается к нулю, т.е. .

Из этого следует, что в случае если не равен нулю, то последовательность расходится.

Пример 2. Доказать, что последовательность расходится, в случае если

а) ; б) ;
в) ; г) .

Ответ.

а) (способы вычисления пределов последовательностей, см., к примеру, в [5] ). Исходя из этого последовательность расходится.

б)

и исходя из этого последовательность расходится. При ответе употреблялся второй превосходный

предел: (подробнее см. [5] ).

в) , т.е. последовательность – вечно

малая. Так как при ~ (см. [5] ), то ~ .

Учитывая это, возьмём:

,

значит, последовательность расходится.

г) ,

следовательно, последовательность расходится.

Условие есть нужным, но не достаточным условием сходимости последовательности: существует множество последовательностей, для которых , но каковые однако расходятся.

Пример 3. Изучить сходимость последовательности .

Ответ. Увидим, что = , т.е. нужное условие сходимости выполнено. Частичная сумма

,

– раз

исходя из этого , а это значит, что последовательность расходится по определению.

Достаточные показатели сходимости знакоположительных последовательностей

Пускай . Тогда последовательность будем именовать знакоположительным. Сформулируем кое-какие достаточные условия сходимости таких последовательностей.

Показатель сравнения

Пускай и – знакоположительные последовательности. В случае если выполняется неравенство , то из сходимости последовательности направляться сходимость последовательности , а из расходимости последовательности направляться расходимость последовательности .

Данный показатель остается в силе, в случае если неравенство выполняется не при всех , а только начиная с некоего номера . Его возможно проинтерпретировать следующим образом: в случае если больший последовательность сходится, то меньший тем более сходится; в случае если расходится меньший последовательность, то больший кроме этого расходится.

Пример 4. Изучить сходимость последовательности , в случае если

а) ; б) ;

Ответ.

а) Увидим, что для всех . Последовательность с неспециализированным участником сходится, т.к. есть рядом геометрической прогрессии со знаменателем (см. пример 1), исходя из этого этот последовательность сходится по показателю сравнения.

б) Сравним последовательность с рядом . Разумеется, что для всех , исходя из этого . В примере 3 было доказано, что последовательность с неспециализированным участником расходится, значит, этот последовательность кроме этого расходится.

Не обращая внимания на простоту формулировки показателя сравнения, на практике более эргономична следующая теорема, являющаяся его следствием.

Jenis


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: