Физическое моделирование геомеханических процессов

ПИ-теорема

В первый раз подтверждение Пи-теоремы было размещено в 1912 г. в трудах аэродинамического университета, возглавляемого русским ученым Н.К.Жуковским.

Пи-теорема формулируется следующим образом: всякое уравнение, связывающее между собой N физических размеров, среди которых к размеров владеют свободными размерностями, возможно преобразовано в уравнение, связывающему N-к симплексов и безразмерных комплексов (отношение двух одноименных размеров) составленных из этих размеров.

В соответствии с Пи-теореме, из N размерных размеров, связанных физическим уравнением, возможно составить не более N-к свободных симплексов и безразмерных комплексов. Доказательства теоремы либо ее пояснение не приводим, ввиду их громоздкости.

Теоремы подобия

Главные положения теории подобия формулируют в виде трех теорем.

Первая теорема подобия устанавливает связь между константами подобия и разрешает распознать критерии подобия. В общей форме эту теорему формулируют так: подобные между собой процессы имеют однообразные параметры подобия.

К примеру, для первого процесса имеем критерии

Подобно для второго процесса имеем

Для аналогичных явлений должно соблюдаться равенство одноименных параметров подобия

Вторая теорема подобия устанавливает возможность представления интеграла как функции от параметров подобия дифференциального уравнения. На основании данной теоремы каждая зависимость между переменными, характеризующими какое-либо явление , возможно представлена в виде зависимости между параметрами подобия

Зависимость для того чтобы типа именуется обобщенным либо критериальным уравнением. Так как для всех аналогичных между собой явлений критерии подобия сохраняют одно да и то же значение, то и критериальные зависимости для них однообразны. Следовательно, воображая результаты какого-либо опыта в параметрах подобия, мы возьмём обобщенную зависимость, которая честна для всех аналогичных между собой явлений. Кроме параметров подобия в критериальные уравнения смогут входить кроме этого симплексы – безразмерные отношения однородных физических размеров.

Третья теорема подобия устанавливает условия, достаточные и нужные чтобы процессы были подобны. Подобны те процессы, условия однозначности которых подобны, и критерии, составленные из условий однозначности, численно однообразны.

Задача изучения какого-либо физического процесса по существу может принимать во внимание ращенной, в случае если отысканы функции, обрисовывающие поля всех характерных для разглядываемого процесса физических переменных. Но, пользуясь одними лишь законами физики, нереально без промежуточных математических операций обрисовать протекание разглядываемого процесса в любую секунду времени во всем изучаемом пространстве. Вследствие этого изучение процесса производится сначала не во всем пространстве, которое охвачено исследуемым процессом, и не за конечный временной отрезок, а в произвольно выделенной «материальной точке» и в течение элементарного промежутка времени. Наряду с этим материальная точка обязана воображать собой количество, размеры которого так мелки если сравнивать с размерами всего изучаемого пространства либо количества, что они смогут рассматриваться как дифференциалы длины dx, dy, dz, т.е. материальная точка представляет собой элементарный параллелепипед, являясь «микрокосмосом» по отношению ко всему изучаемому пространству, и одновременно с этим должен быть «макрокосмосом» по отношению к молекулам. Это указывает, что число молекул, находящееся в параллелепипеде, должно быть весьма громадно, а размеры dx, dy, dz должны быть велики если сравнивать с молекулярными расстояниями.

Эти требования в большинстве случаев легко удовлетворяются. Элементарный временной отрезок кроме этого должен быть малый, дабы возможно было вычислять, что на его протяжении в пределах материальной точки находятся одинаковые молекулы. Этому требованию удовлетворяет временной отрезок, равный дифференциалу dt.

Так, временной отрезок dt и количество , в пределах которых рассматривается изучаемый процесс, являясь математической точки зрения физики величины, большие (что разрешает среду, в которой протекает физический процесс, разглядывать как континуум).

Выбрав, так, в качестве объекта начального изучения элементарный количество, формулируют для него соответствующие законы либо правила физики. В следствии получается одно либо совокупность дифференциальных уравнений математической физики, каковые устанавливают связь между пространственно-временными трансформациями всех физических переменных. Эта совокупность уравнений обрисовывает все подряд явления одного класса независимо от геометрической конфигурации изучаемого тела, и независимо от условий и физических свойств его сотрудничества с окружающей средой.

Дабы из целого класса выделить единичный процесс, выяснить его конкретно, нужно к дифференциальным уравнениям присоединить математическое описание всех частных изюминок, каковые именуются условиями однозначности. Эти условия определяются заданием:

1) геометрических условий, характеризующих размеры и форму тела, в котором протекает процесс;

2) физических условий, характеризующих тела и физические свойства среды;

3) граничных условий, характеризующих изюминки протекания процесса на границах тела;

4) временных условий, характеризующих изюминки протекания процесса во времени.

Условия 3) и 4) именуют еще краевыми условиями.

Условия однозначности смогут быть заданы в виде числового значения либо в виде дифференциального уравнения.

По окончании приведения дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий к безразмерному виду и задания численных значений безразмерных параметров приобретают совокупность уравнений, каковые охватывают уже не единичные процессы, а целую группу процессов.

ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Неспециализированные сведения.

Как указывалось во введении, при разработке месторождений нужных ископаемых и постройке подземных сооружений появляются непростые инженерные задачи, которые связаны с напряженно-деформированным состоянием массива горных пород и проявлением разных физических процессов – давление горных пород, горные удары, выбросы и т.д. Физическая сущность указанных процессов еще не хватает изучена, а математическое описание процессов в обобщенном виде как правило отсутствует. В этом случае на основании теории размерности с применением Пи-теоремы составляются уравнения связей, и готовится модель с целью проведения опытов.

В несложном случае модель воспроизводит изучаемое явление с сохранением физической геометрического подобия и природы, а отличается от оригинала (натуры) только размерами одноименных параметров и скоростью протекания исследуемого процесса. В некоторых случаях намного проще, эргономичнее и рациональнее модель изготавливать из среды, хорошей по собственной физической природе от оригинала (натуры). Но и тут модель изготовляют с соблюдением условий подобия. В этом случае изучение какого-либо явления в оригинале заменяется изучением подобного явления на модели. К примеру, вместо изучения явления конвективного теплообмена в натуре исследуют на модели процесс диффузии либо напротив. По мере накопления информации о закономерностях процесса в будущем составляются уже достаточно обоснованные уравнения связей, каковые в критериальной форме применяют для практических расчетов процесса в натуре.

Способ моделирования базируется на теории подобия. Но тогда как теория подобия изучает свойства заведомо подобные системы, учение о моделировании призвано решать задачу, в частности: установить, каким требованиям обязана удовлетворять модель, дабы процессы, происходящие в ней, были подобны процессам, происходящим в натуре.

В разработке моделирования и теории подобия первенство в собственности русским ученым. В случае если заграничная практика дала относительно маленькое число разрозненных, относящихся к частным вопросам теории подобия, то русские ученые создали неспециализированную теорию подобия, создав тем самым предпосылки, нужные для построения учения о моделировании. Так, еще в 1907 г. М.В. Кирпичев дал блестящее изложение баз подобия. Уже в 1922 г. акад. Н.Н.Павловский опубликовал теорию электрогидродинамических аналогий. В 1924 г. М.В.Кирпичев начал экспериментальные исследования моделирования сперва тепловых, а после этого и некоторых вторых явлений. направляться кроме этого указать на способ электрических аналогий, созданный Л.И.Гу-тенмахером на базе развитой им теории С.А.Гершгорина.

Одной из первых попыток моделирования на физических моделях механических явлений в массиве горных пород являются изучения М.Файоля. В будущем были созданы инженерные методы и теоретические основы расчета физических моделей способа эквивалентных материалов проф. Г.Н.Ку-знецовым, способа центробежного моделирования проф. Г.И.Покровским. Существенно развит и усовершенствован способ фотоупругости проф. В.Ф.Трум-бачевым. Предложены и созданы теоретические базы гидроинтегратора д-ром т.н. В.С.Лукьяновым.

Основоположником моделирования в горном деле по праву нужно считать проф. М.М.Протодьякова.

Правила моделирования.

Выше указывалось, что благодаря трудностей математического характера аналитическое ответ большого числа практических задач с краевыми условиями или вовсе невыполнимо, или требует для собственного исполнения введения упрощающих допущений. Последнее довольно часто в значительной степени снижают практическую сокровище теоретического ответа. Исходя из этого при ответе большого числа задач приходится прибегать к опыту. Но результаты единичного опыта, по большому счету говоря, не смогут быть конкретно распространенными на случаи, для которых значения и краевые условия физических параметров полностью не совпадают с теми, каковые имели место при экспериментальном изучении. Такая ограниченность области применения результатов экспериментального изучения выдвигает вопрос о возможности обобщения умелых данных. Эту возможность открывает способ моделирования, разрешающий распространить результаты единичного опыта по изучению какого-либо процесса на целую группу процессов, аналогичных исследуемому.

На основании теории подобия было указано, что единичный процесс возможно конкретно выделен из целого класса методом присоединения к дифференциальным уравнениям, обрисовывающим разглядываемый класс процессов, краевых условий и задание значений физических параметров, входящих в дифференциальные уравнения, начальные и граничные условия. Но по окончании приведения дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий к безразмерному виду и задания численных безразмерных параметров приобретают совокупность уравнений, охватывающую группу процессов. Исходя из этого, в случае если два процесса протекают в геометрически подобных системах и наряду с этим безразмерные дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия, обрисовывающие оба явления, тождественно однообразны, то разглядываемые процессы подобны и результаты изучения одного из них смогут быть распространены на второе.

На основании сообщённого представляется вероятным дать следующую формулировку правил моделирования.

Чтобы процесс в модели был подобен процессам в натуре, нужно и достаточно выполнить следующие требования:

1) модель должна быть геометрически подобна примеру;

2) процессы в образце и модели должны принадлежать к одному классу и описываться однообразными дифференциальными уравнениями;

3) начальные и граничные условия в модели должны быть реализованы так, дабы безразмерные начальные и граничные условия модели тождественно совпадали с этими же условиями в натуре;

4) одноименные безразмерные параметры, входящие в дифференциальные уравнения, начальные и граничные условия, в модели и в натуре должны быть соответственно равны.

Изложенные правила моделирования относятся к случаю, в то время, когда процессы

в модели и в натуре принадлежат к одному и тому же классу. Эти правила смогут быть легко распространены на случай, в то время, когда процессы, протекающие в них, удовлетворяют определению аналогии. В этом случае условие 4) должно содержать равенство не только одноименных, а и подобных безразмерных параметров. Так, к примеру, в случае если рассматривается аналогия между процессами диффузии и теплопроводности, то подобными будут коэффициент диффузии с и коэффициент теплопроводности l, играющие однообразную роль в физических уравнениях. Следовательно, правило фактически моделирования есть частным случаем более неспециализированного правила аналогии.

Сделаем кое-какие замечания относительно реализации краевых условий при моделировании. Все краевые условия по показателю их реализации возможно поделить на две категории: управляемые и неуправляемые. Первые смогут быть реализованы по желанию экспериментатора; вторые же реализуются независимо от исследователя в силу самой природы физического явления.

К примеру, для стационарного процесса конвективного теплообмена при течении жидкости в трубе краевые условия смогут быть сформулированы следующим образом:

1) во входном сечении трубы имеется в полной мере определенное распределение температур и скоростей;

2) в какой-либо точке потока имеется определенное давление;

3) на границе трубы и раздела потока скорость жидкости равна нулю, трубы и температуры жидкости равны друг другу, и равны друг другу тепловые потоки, входящие в трубу и выходящие из жидкости.

Нетрудно видеть, что из перечисленных граничных условий, условия 1) и 2) являются управляемые и их исполнение зависит от желания исследователя. Условия же 3) имеет место неизменно и не зависит от исследователя. Что же касается начальных условий, то они постоянно являются управляемыми.

Чтобы безразмерные неуправляемые краевые условия в натуре и модели были тождественно однообразными, достаточно осуществить равенство безразмерных одноименных параметров, входящие в соответствующие краевые условия натуры и модели.

Управляемые краевые условия должны быть заданы в течении всех пространственных границ исследуемого процесса. Исходя из этого, перед тем как приступить к моделированию, нужно сформулировать управляемые условия для натуры и выбирать их так, дабы они были достаточно прекрасно известны.

Геодинамические процессы на нашем планете и их моделирование на компьютере, лекция А.В. Бабичева


Понравилась статья? Поделиться с друзьями: