Iii. односторонние пределы функции

1) Пускай лишь слева, оставаясь меньше x.

def. Число b1 именуется пределом функцииf(x) в т. слева (левосторонним пределом), в случае если

.

Обозначают: либо

2) Пускай сейчас справа, т.е. х остается больше .

def. Число b2 именуется пределом функцииf(x) в т. справа (правосторонним пределом), в случае если

.

Обозначают: либо

Пределы слева и справа именуются односторонними пределами функции.

3) В случае если функция f(x) во внутренней т. имеет предел, то она имеет пределы в т. слева и справа, причем

Справедливо и обратное: в случае если односторонние пределы функции в т. существуют и равны, то будет существовать и предел функции в т. , равный им.

Но односторонние пределы смогут существовать, но не равняться друг другу.

x
y
0
1
2
-1\\
1
2

Пример8. 1.

в точке x=1 функция терпит разрыв.

Замечание 1.Предел функции при .

x
y
0
b
x
y
0
b

Замечание 2. Нескончаемый предел функции

.

(В случае если то в случае если то

Пример 8.2.

IV. Распространение теорем о пределах переменнона случай функции

Все теоремы, доказанные для переменной величины, честны и для функций произвольной настоящей переменной.

К примеру:

Разные их раскрытие и виды неопределённостей

Ранее разглядели теоремы о пределах суммы, разности, произведения, частного, где пределы рассмотренных компонент существовали и были конечны. Разглядим случаи, в то время, когда пределы нескончаемы либо случай, в то время, когда предел делителя равен нулю.

I. Неопределенность вида

Пускай

1) Пускай рациональная дробь (отношение двух многочленов).

Выделить множитель и сократить дробь на него. Такое сокращение быть может, т.к. но , т.е.

Пример 9.1.

2) Пускай дробь, содержащая иррациональные выражения.

«Избавиться» от иррациональности, домножив знаменатель и числитель на соответствующее сопряженное выражение.

Пример 9.2.

3) Для раскрытия неопределенности , содержащей тригонометрические выражения, используют 1-й превосходный предел.

II. Неопределенность вида

Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, нужно знаменатель и числитель поделить на громаднейшую степень переменного.

Пример 9.3.

Пример 9.4.

Пример 9.5.

Замечание. , ,

III. Неопределенность вида

Неопределенность вида преобразуется к неопределенности вида либо методом деления и умножения на сопряженную величину либо приведения к неспециализированному знаменателю.

Пример 9.6.

Пример 9.7.

IV. Неопределенность вида

Неопределенность вида сводится к неопределенности либо .

Пример 9.8.

Первый показатель существования предела

def.Переменная (числовая последовательность ) именуется

  • неубывающей, в случае если
  • возрастающей, в случае если
  • невозрастающей, в случае если
  • убывающей, в случае если

Возрастающие и убывающие переменные именуются монотонными.

def. Переменная именуется ограниченной сверху, в случае если все ее значения не превосходят некоего числа M, т.е.

def. Переменная именуется ограниченной снизу, в случае если

Теорема. Первый показатель существования предела

В случае если переменная возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел.

В случае если переменная убывает и ограничена снизу, то она имеет конечный предел.

Односторонние пределы (часть 3). Верховная математика.


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: