Элементы теории нечетких множеств

Введение элементов теории нечетких множеств в данное учебное пособие связано с тем, что иногда невозможно заранее получить точные надежностные характеристики элементов и блоков разрабатываемой системы. В таких условиях приходится брать несколько надежностных характеристик одного элемента, ранжируя их по степени достоверности, и проводить оптимизацию структуры системы, исходя из определенных критериев [3]. Такой подход изложен, в частности, в подразд.

2.5.

1.4.1. Понятие принадлежности и основные операции для четких подмножеств

Рассмотрим понятие принадлежности сначала на примере четких множеств.

Пусть Е – множество, А – подмножество Е. Имеется также характеристическая функция mА(х), которую в упрощенном варианте будем считать вероятностью того, принадлежит ли элемент x подмножеству А:

(1.21)

т.е. вероятность для четких множеств принимает только значения 0 и 1 (принадлежит либо не принадлежит).

Предположим, что множество Е состоит из нескольких элементов:

Е = { x1, x2, x3, x4, x5}, (1.22)

а подмножество А – из некоторых элементов множества Е:

А = {x2, x3, x5}. (1.23)

Тогда подмножество А можно записать через элементы множества Е и значения функции mА(х) (принадлежности элемента подмножеству А).

Пример 1.1. Запишем конкретные значения подмножества А:

А = {(х1,0), (x2,1), (x3,1), (х4,0), (x5,1)}. (1.24)

Это означает: элемент x1 принадлежит подмножеству А с вероятностью mА(х1) = 0, т.е. не принадлежит подмножеству А, в то время как элемент x2 принадлежит подмножеству А с mА(х2) = 1, т.е. принадлежит подмножеству А.

Для четких множеств определены несколько операций. Наиболее часто употребляются:

– дополнение

A ? {x E ||x A},

, , (1.25)

или, если записать эти соотношения через характеристическую функцию принадлежности,

; (1.26)

– пересечение АCВ или, если определить эту операцию через функцию принадлежности,

(1.27)

,

где «?» – логическое умножение;

– объединение АEВ или, если определить эту операцию через функцию принадлежности:

(1.28)

,

где «+» – логическое сложение.

Пример 1.2. Рассмотрим вышеприведенные операции на примере. Пусть имеются множество Е (1.22) и два его подмножества: А (которое уже было рассмотрено в предыдущем примере) и В:

А = {(х1,0), (х2,1), (х3,1), (х4,0), (х5,1)} , (1.29)

B = {(х1,1), (х2,0), (х3,1), (х4,0), (х5,1)}. (1.30)

Тогда операция пересечения будет выглядеть следующим образом:

АCВ = {(х1,0 ? 1), (х2,1? 0), (х3,1 ? 1), (х4,0 ? 0), (х5,1 ? 1)}. (1.31)

Операция объединения соответственно будет записана так:

АEВ = {(х1,0 +1), (х2,1+ 0), (х3,1+1), (х4,0 + 0), (х5,1+1)}. (1.32)

Знаки умножения и сложения соответствуют логическому И и логическому ИЛИ.

Рандомно подобранные статьи с сайта:

Урок №1 Элементы теории множеств


Похожие статьи:

admin