Линейная функция (линия регрессии)

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3.

Обработка результатов опыта

Цель работы: Изучение возможностей пакета MS Excel при ответе задач обработки экспериментальных данных. Приобретение навыков обработки результатов опыта.

Постановка задачи:

Одной из распространенных задач в науке, технике, экономике есть аппроксимация экспериментальных данных, алгебраических данных аналитическими выражениями. Возможность подобрать параметры уравнения так, дабы его ответ совпало с данными опыта, обычно есть доказательством (либо опровержением) теории.

Разглядим следующую математическую задачу. Узнаваемые значения некоей функции f образуют таблицу:

Таблица 3.1

x x1 x2 . . . xn
f(x) y1 y2 . . . yn

Нужно выстроить аналитическую зависимость y =f(x), самый близко обрисовывающую результаты опыта. Выстроим функцию y =f(x, a0, a1, …, ak) так, дабы сумма квадратов отклонений измеренных значений yi от расчетных f(xi ,a0, a1, …, ak) была мельчайшей (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1 Графическая интерпретация способа мельчайших квадратов.

Математически эта задача равносильна следующей: определить значение параметров a0, a1, a2, …,ak, при которых функция принимала бы минимальное значение.

Эта задача сводится к ответу совокупности уравнений:

В случае если параметры ai входят в зависимость y =f(x,ao, a1, …, ak) линейно, то мы возьмём совокупность линейных уравнений:

Решив совокупность, отыщем параметры ao, a1, …, ak и возьмём зависимость y =f(x, ao, a1, …, ak).

Линейная функция (линия регрессии)

Нужно выяснить параметры функции не = меньше+b. Составим функцию S:

Продифференцируем выражение для S по a и b, организуем совокупность линейных уравнений, решив которую мы возьмём следующие значения параметров:

Подобранная прямая именуется линией регрессии y на x, a и b именуются коэффициентами регрессии.

Чем меньше величина

тем более обосновано предположение, что табличная зависимость описывается линейной функцией. Существует показатель, характеризующий тесноту линейной связи между x и y. Это коэффициент корреляции. Он рассчитывается по формуле:

Коэффициент корреляции r и коэффициент регрессии a связаны соотношением:

где Dy, Dx — среднеквадратичное отклонение значений x и y.

Значение коэффициента корреляции удовлетворяет соотношению -1 ? r ? 1. Чем меньше отличается полная величина r от единицы, тем ближе к линии регрессии находятся экспериментальные точки. В случае если коэффициент корреляции равен нулю, то переменные x, y именуются некоррелированными. В случае если r = 0, то это лишь свидетельствует, что между x, y не существует линейной связи, но между ними существует зависимость, хорошая от линейной.

Чтобы проверить, значимо ли отличается от нуля коэффициент корреляции, возможно применять критерий Стьюдента. Вычисленное значение критерия определяется по формуле:

Значение t сравнивается со значением, забранным из таблицы распределения Стьюдента в соответствии с уровнем значимости a и числом степеней свободы n-2. В случае если t больше табличного, то коэффициент корреляции значимо отличен от нуля.

Квадратичная функция

Нужно выяснить параметры функции y = ao + a1x + a2x2.

Составим функцию:

Для данной функции запишем совокупность уравнений :

(8.6)

Для нахождения параметров ao, a1, a2 нужно решить совокупность линейных алгебраических уравнений.

Кубическая функция

Нужно выяснить параметры многочлена третьей степени y = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3.

Составим функцию S:

Совокупность уравнений для нахождения параметров ao, a1, a2, a3 имеет форму:

Для нахождения параметров ao, a1, a2, a3 нужно решить совокупность четырёх линейных алгебраических уравнений.

В случае если в качестве аналитической зависимости выберем многочлен k-й степени y = ao+a1x+…+ak xk, то совокупность уравнений для определения параметров ai принимает вид:

46 Линейная регрессия


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: