Логические операции над высказываниями

Тема 2. Высказывания. Логические операции над ними

Простое высказывание – это утверждение (повествовательное предложение), в отношении которого возможно сообщить, действительно оно либо ложно (но не то и второе совместно).

Всякое высказывание есть предложением и возможно выражено словами, но далеко не все предложение есть высказыванием в математическом смысле.

Пример.Не являются высказываниями предложения:

1) число 0,00000001 мало;

2) существует ли число, квадрат которого равен 2?

3) ;

4) .

Первое их этих предложений не есть высказыванием вследствие того что не имеет правильного смысла и мы не можем сообщить, действительно оно либо ложно; второе предложение содержит вопрос; четвёртое предложения и третье содержат букву х. При одних значениях х получается подлинное высказывание, при вторых фальшивое.

Предложение, о котором нереально конкретно решить вопрос, действительно оно либо ложно, высказыванием не есть.

Всякое высказывание есть или подлинным, или фальшивым (закон исключенного третьего).

Никакое высказывание не может быть одновременно истинным и фальшивым(закон несоответствия).

Неизвестные высказывания

Будем обозначать через N множество всех натуральных чисел. Через х обозначим произвольный элемент множества N. Разглядим следующие предложения:

,

,

,

.

Предложения A(x), B(x), C(x), D(x) высказываниями не являются, т.к. об истинности, к примеру, A(x) мы ничего не можем сообщить, пока нам не известно число х. Но, подставляя в A(x) вместо х разные натуральные числа, мы будем приобретать высказывания о натуральных числах – время от времени подлинные, время от времени фальшивые. К примеру:

— подлинное высказывание;

— фальшивое высказывание.

Предложения A(x), B(x), C(x), D(x), которые содержат переменную х, именуют неизвестными высказываниями (предикатами).В случае если вместо х подставить число, то мы возьмём простое высказывание.

Неизвестное высказывание возможно задано на любом множестве. Оно является высказыванием о каком-то элементе х разглядываемого множества.

Довольно часто приходится разглядывать неизвестные высказывания, в каковые входит не одно, а два либо большее число переменных.

Пример. ;

;

;

.

Мы ничего не можем сообщить об истинности либо ложности этих утверждений, т.к. нам малоизвестны х и y. Но в случае если совершенно верно указано, чему равны х и y, каждое из сформулированных утверждений преобразовывается в высказывание – для одних пар х и y подлинное, для других – фальшивое. Вот примеры высказываний, взятых из указанных предложений при конкретных значениях х и y:

-подлинное высказывание;

-фальшивое высказывание;

-фальшивое высказывание;

-фальшивое высказывание;

-подлинное высказывание.

Логические операции над высказываниями

Высказывания обозначают латинскими буквами A, B, C, …, их значения ложь и истина соответственно, через «И» и «Л». Сложные высказывания приобретают из несложных при помощи логических операций, к каким относятся отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность (эквиваленция).

1. В случае если А – высказывание, то отрицание высказывания А определяется как такое высказывание, которое действительно тогда и лишь тогда, в то время, когда высказывание А ложно. Отрицание высказывания А обозначается (либо OА) и читается «не А».

Истинность-ложность операции отрицания высказывает истинностная таблица 1.1.

Т а б л и ц а 1.1

А
И Л
Л И

Пример. 1) ; .

2) ; .

3) ; .

4) ; .

Каково бы ни было высказывание А, из двух высказываний А, А одно есть подлинным, а второе – фальшивым.

Закон отрицания отрицания: Двойное отрицание А действительно в том и лишь в том случае, если действительно само высказывание А ( т.е. в случае если А действительно, то и А действительно, а вдруг А ложно, то и А ложно).

2. Конъюнкцией двух высказываний именуется такое высказывание, которое действительно тогда и лишь тогда, в то время, когда оба составляющие ее высказывания подлинны.

В случае если А, В — высказывания, то их конъюнкция обозначается A U B (либо А B) и читается «А и В».

Конъюнкции соответствует истинностная таблица 1.2.

Т а б л и ц а 1.2

А В А U В
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л Л

Пример:Высказывание — действительно, высказывание — действительно, исходя из этого подлинна и их конъюнкция .

3. Дизъюнкцией двух высказываний именуется такое высказывание, которое ложно тогда и лишь тогда, в то время, когда оба составляющие ее высказывания фальшивы.

В случае если А, В — два высказывания, то их дизъюнкция обозначается А U В и читается «А либо В». Альянс «либо» тут употребляется в соединительном, а не в разделительном смысле, т. е. для истинности высказывания А U В допускается кроме этого случай истинности обоих высказываний А, В.

Операции дизъюнкции соответствует истинностная таблица 1.3.

Т а б л и ц а 1.3

А В А U В
И И И
Л И И
И Л И
Л Л Л

Пример:Высказывание — действительно, высказывание — ложно. Тогда высказывание — действительно.

4. Импликация высказываний А, В определяется как такое высказывание, которое ложно тогда и лишь тогда, в то время, когда высказывание А действительно, а высказывание В ложно. Импликация двух высказываний А, В обозначается А ? В и читается «в случае если А, то В». Высказывание А именуется посылкой импликации, а В — заключением.

Импликации соответствует истинностная таблица 1.4.

Т а б л и ц а 1.4

А В А ? В
И И И
Л И И
И Л Л
Л Л И

5. Эквивалентность двух высказываний А, В определяется как высказывание, которое действительно тогда и лишь тогда, в то время, когда высказывания А, В оба подлинны либо оба фальшивы. Обозначается А U В и читается «А тогда и лишь тогда, в то время, когда В» («в случае если А, то В, и, в случае если В, то А», «А имеется нужное и достаточное условие для В»). Значения эквивалентности выяснены в истинностной таблице 1.5.

Т а б л и ц а 1.5

А В А U В
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л И

Пример:Разглядим два высказывания, определенных на множестве натуральных чисел:

;

.

Тогда показатель делимости на 3 возможно записать как (число делится на 3 тогда и лишь тогда, в то время, когда сумма его цифр делится на три).

В случае если теорема сформулирована в виде A ? B, то она именуется показателем либо достаточным условием дляB, где A, B – кое-какие высказывания.

Теорема типа В ? А именуется обратной для теоремы A ? B.

В случае если теорема имеет форму A U B, то она именуется критерием либо нужным и достаточным условиями для B.

Теорема для того чтобы типа объединяет обратную теоремы и прямую.

Теорема типа именуется противоположной к обратной теореме.

Высказывание A ? B действительно тогда и лишь тогда, в то время, когда действительно высказывание . На этом факте основан способ доказательства от противного.

Пример:Пускай высказывание , а . Тогда .

Данную теорему принято высказывать в следующем виде:

А есть достаточным условием для В.

В есть нужным условием для А.

Нужное условие возможно сформулировать следующим образом: для делимости числа х на 4 нужно, дабы его последняя цифра была четной.

Конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание. На примерах из судьбы. Логика.


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: