Метод аналитической иерархии (маи)

Предложенный американским экспертом в области изучения операций Томасом Саати способ аналитической иерархии (analytic hierarchy process; второй вариант русского перевода — способ анализа иерархий) был одним из самый пользуется спросомных способов принятия ответов при многих параметрах.

В базе методики лежат две идеи. Первая — это мысль иерархической декомпозиции совокупности параметров. Вторая — мысль перехода от яркой оценки важности отдельных качества и критериев альтернатив с позиций параметров к сравнительной попарной оценке альтернатив и критериев. Разглядим их на примере несложной иерархии (рис. 4.1).

Глобальная цель
Локальная цель 1
Локальная цель 2
Критерий 1
Критерий 2
Критерий 3
Критерий 4
Критерий 5
Критерий 6
А 1
А 2
А 3
А 1
А 2
А 3
А 1
А 2
А 3
А 1
А 2
А 3
А 1
А 2
А 3
А 1
А 2
А 3

Рис. 4.1. Пример иерархии, (А – альтернатива 1,2….).

Суть идеи иерархии тут пребывает в следующем. Выделены одна глобальная, две локальные цели и по три критерия, высказывающие степень реализации каждой из локальных целей. Обе локальные цели оцениваются с позиций глобальной цели (в какой мере любая из них ответственна для реализации последней). Все параметры оцениваются с позиций соответствующей локальной цели (в какой мере они ее отражают). После этого любая из трех альтернатив оценивается с позиций каждого из параметров (в какой мере она ему соответствует). Так, у нас должно быть в этом случае 18 оценок альтернатив, плюс 6 оценок значимости параметров, плюс 2оценки важности локальных целей. По окончании того, как все оценки взяты, «снизу вверх» начинается расчет. Веса параметров вычисляются методом умножения значимости критерия на важность локальной цели, на которую «трудится» этот критерий. Интегральные оценки альтернатив находятся по следующей схеме: оценка альтернативы по каждому критерию умножается на вес критерия, и все оценки данной альтернативы складываются. Потому, что оценки всех элементов иерархии на каждом ее уровне нормируются (т.е. в сумме дают единицу), то и интегральные оценки альтернатив также в сумме будут давать единицу. Выбирается альтернатива, имеющая большую интегральную оценку.

Мысль попарного сравнения трудится так. Любая из нужных нам в разглядываемом примере 26 оценок получается в следствии следующей процедуры. Элементы иерархии одного уровня, которые связаны с одним вышестоящим узлом, сравниваются попарно между собой. Результаты сравнения заносятся в квадратную таблицу (матрицу) размера n*n, где п — число элементов иерархии на данном уровне. Потому, что в каждой паре сравнение достаточно произвести лишь один раз (в случае если в следствии сравнения первой локальной цели со второй стало известно, что первая локальная цель ответственнее, нет необходимости сравнивать вторую с первой) и итог сравнения любого элемента иерархии с ним же самим очевиден, то всего на каждом уровне иерархии нужно будет провести п(п — 1)/2 сравнений. В отечественном примере лицу, принимающему ответ, было нужно бы осуществить 25 попарных сравнений (необходимо 1 сравнение для локальных целей; по 3 — для параметров, соответствующих каждой из двух локальных целей – всего 6; по 3 — для альтернатив по каждому из шести параметров – всего 18). При проведении сравнений употребляется числовая шкала, представленная в табл. 4.4.

Табл.4.4. Шкала попарных сравнений в способе аналитической иерархии

Позиция шкалы Описание позиции
Равная важность для критериев и целей. Равное уровень качества для альтернатив. (Пример: две локальные цели вносят однообразный вклад в достижение глобальной цели).
Умеренное превосходство первого из двух сравниваемых элементов иерархии над вторым. Имеются кое-какие мысли в пользу предпочтения первого элемента, но не хватает убедительные.
Значительное превосходство первого из двух сравниваемых элементов иерархии над вторым. Имеются качественные суждения либо логические выводы для предпочтительности первого элемента.
Большое превосходство первого из двух сравниваемых элементов иерархии над вторым. Существуют убедительные свидетельства в пользу первого элемента.
Большое превосходство первого из двух сравниваемых элементов иерархии над вторым.

Обратите внимание, что в соответствии с идеями, рассмотренными ранее (материалы по шкалированию), мы можем утверждать, что приобретаемые таким методом оценки являются количественными. В случае если, согласно точки зрения специалиста, соотношение между сравниваемыми элементами иерархии носит промежуточный темперамент между указанными в табл. 4.4. вариантами, то употребляются четные оценки: 2, 4, 6, 8. Наконец, в случае если первый элемент иерархии уступает второму, то итог сравнения будет представлен обратными размерами: 1/3, 1/5, 1/7, 1/9. Так, элементы матриц, выстроенных по итогам попарных сравнений, симметричные довольно основной диагонали, будут в обязательном порядке взаимно обратными.

Из взятой матрицы оценок элементов иерархии данного уровня рассчитываются элементы ее собственного вектора, соответствующего большому собственному значению. Логика, в соответствии с которой в качестве весов берутся эти параметры, такова. Пускай w1, …, wn — оценки элементов иерархии (веса параметров), оцененные по шкале от 1 (самый неважный) до 9 (самый серьёзный). Тогда матрица попарных сравнений параметров при условии идеально логичного поведения ЛПР должна была бы смотреться так:

C точки зрения математика, это — весьма своеобразная матрица. Все ее строки пропорциональны друг другу. Как именно из данной матрицы возможно взять сами веса w1, …, wn ? Нетрудно видеть, что для этого необходимо матрицу A умножить на вектор w = (w1, …, wn). Имеем

Это уравнение возможно переписать в виде

А ? w = n w. (4.1)

С математической точки зрения это указывает, что вектор весов w имеется личный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению п. Структура матрицы A такова, что ее большое собственное значение равняется n, а все остальные значения равны нулю. Компоненты вектора w смогут быть вычислены посредством несложных формул:

(4.2)

(4.3)

Увидим, что уравнение (4.2) — это не что иное, как формула вычисления так именуемого среднего геометрического — стандартная операция, которая входит в библиотеку встроенных функций Микрософт Excel. Исходя из этого реализация способа аналитической иерархии каких-либо своеобразных вычислительных сложностей не таит.

Но все это справедливо только при условии, что лицо, принимающее ответ, действует полностью логично. На практике это, очевидно, не так, в следствии чего матрица A получает пара свойства и иной вид. Речь заходит о следующем. Предположим, ЛПР говорит, что критерий 1 существенно превосходит по важности критерий 2, а критерий 2 равен по важности критерию 3. Каков должен быть итог сравнения по важности критерия 1 и критерия 3? Вопреки, казалось бы очевидному, на практике довольно часто оказывается, что ЛПР говорит, что критерий 1 только умеренно превосходит по важности критерий 3. Дело тут не в неразумности ЛПР, а в том, что в ходе попарных сравнений ему не удается держать в памяти все собственные прошлые ответы и на протяжении опроса он всегда корректирует, переоценивает собственные прошлые суждения. Исходя из этого большое собственное значение ?max матрицы A оказывается пара громадным п, а это и есть индикатором нарушения логики в ответах ЛПР. направляться подчернуть, что трудность, с которой мы тут сталкиваемся, есть оборотной стороной действенного принципа декомпозиции: непростую задачу яркой альтернатив и оценки критериев мы заменили множеством довольно несложных задач их сравнительной (попарной) оценки. При «обратной сборке» взятых ответов на частные простые вопросы и появляется та самая трудность.

Нахождение собственных собственных значений и векторов— это хорошая задача вычислительной математики, действенные способы ответа которой прекрасно известны. Для матрицы рассчитывается ее фактическое большое собственное значение ?max и так называемый индекс однородности ИО (т.е. непротиворечивости) суждений ЛПР:

ИО = (?max – n)/(n-1)

Определённое значение индекса однородности сопоставляется со средним его значением для матриц данного размера. Эти средние значения взяты в следствии компьютерного моделирования произвольных (совсем не ограниченных логикой) ответов ЛПР на вопросы о попарном сравнении элементов. В случае если индекс однородности образовывает не более 10% от среднего значения индекса, то результаты попарных сравнений вычисляют приемлемыми. В другом случае ЛПР предлагают пересмотреть собственные ответы.

Процесс отыскания собственных векторов не должен быть пугающе сложным для ЛПР. Для него вся эта процедура, составляющая внутреннюю механику способа аналитической иерархии, невидима.

Кроме красивых идей иерархической декомпозиции перехода принятия и задачи решения от яркой оценки к попарному сравнению, успеху способа аналитической иерархии в большой степени содействовала компьютерная реализация методики — программа Expert Choice. Благодаря дружественному интерфейсу и предоставляемым возможностям групповой обмена и работы данными со стандартными приложениями Микрософт Office программа Expert Choice стала широко распространена. В частности, она употреблялась в таких компаниях, как ABN Amro, Allianz Life, America Online, Ford Motor Company, General Electric, Дженерал моторс, Hewlett Packard, IBM, John Hancock, Lockheed Martin, Mayo Collaborative Services, и National Association of Counties, National Association of Home Builders.

Так называемая пробная версия программы Expert Choice возможно загружена с сайта создающей ее компании, созданной Т. Саати с сотрудниками: www. expertchoice.com/software/grouptrialreg.htm.

Обычные области применения данной методики — это распределение ресурсов; наем, продвижение и оценка персонала; оценка поглощений и слияний; управление качеством; реструктуризация; реинжиниринг бизнес-процессов; оценка инвестиций; стратегическое планирование.

Пример (распределение энергии).

Предположим, что нам нужно решить проблему распределения энергии в некоей развитой стране между тремя ее наибольшими пользователями: бытовым потреблением (БП), транспортом (TP) и индустрией (ПР). Они составляют третий, либо низший, уровень иерархии. Целями, по отношению к каким оцениваются эти потребители, являются вклад в экономическое развитие (Э), вклад в уровень качества внешней среды (С) и вклад в национальную безопасность (Б). Цели составляют второй уровень иерархии. Неспециализированная цель — благоприятное социальное и политическое положение (Бл) — первый уровень иерархии (рис. 2).

Нужные пояснения к таблице. Экономика имеет сильное превосходство перед окружающей средой (5) и не сильный перед национальной безопасностью (3). Числа во 2-й и 3-й строчках выбраны так, дабы полученная матрица сравнений была обратно-симметричной и согласованной. Столбец приоритетов, вычисленный любым из обрисованных выше четырех способов, имеет форму

(4.4)

Следовательно, в соответствии со сравнением по социально-политическому влиянию экономика приобретает приоритет0,65, окружающая среда —0,13 и нацбезопасность —0,22 (рис.3).

Совершим сейчас оценку относительной важности каждого потребителя с позиций экономики, национальной безопасности и окружающей среды (составляющих второй уровень иерархии).

Соответствующие матрицы попарных сравнений, столбцы приоритетов и индексы согласованности имеют следующий вид:

Запишем полученные столбцы в виде матрицы. Имеем:

(4.5)

Умножая эту матрицу на столбец w (4.4), находим искомый столбец приоритетов третьего уровня иерархии, воображающего потребителей энергии БП, TP и ПР (взвешенный в соответствии с их неспециализированному влиянию):

Итак, в соответствии с отечественными вычислениями на бытовое потребление направляться выделить 62% энергии, на транспорт — 26% и на индустрию — 12%.

31 Неспециализированная черта способа анализа иерархий


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: