Метод экспоненциального сглаживания

Несложная и логически ясная модель временного последовательности имеет следующий вид:

Yt = b + et

у, = Ь + г„ (11.5)

где b — константа, e — случайная неточность. Константа b довольно стабильна на каждом временном промежутке, но может кроме этого медлительно изменяться со временем. Один из интуитивно ясных способов выделения значения b из данных пребывает в том, дабы применять сглаживание скользящим средним, в котором последним наблюдениям приписываются громадные веса, чем предпоследним, предпоследним громадные веса, чем пред- предпоследним, и т.д. Простое экспоненциальное сглаживание именно так и выстроено. Тут более ветхим наблюдениям приписываются экспоненциально убывающие веса, наряду с этим, в отличие от скользящего среднего, учитываются все предшествующие наблюдения последовательности, а не только те, каковые попали в выясненное окно. Правильная формула несложного экспоненциального сглаживания имеет форму:

St = a yt + (1 — a) St-1

В то время, когда эта формула используется рекурсивно, каждое новое сглаженное значение (которое есть кроме этого прогнозом) вычисляется как взвешенное среднее текущего наблюдения и сглаженного последовательности. Разумеется, итог сглаживания зависит от параметра a.В случае если a равен 1, то прошлые наблюдения всецело игнорируются. В случае если aравен 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значения a между 0 и 1 дают промежуточные результаты. Эмпирические изучения продемонстрировали, что простое экспоненциальное сглаживание часто дает достаточно правильный прогноз.

На практике в большинстве случаев рекомендуется брать a меньше 0,30. Но выбор a больше 0,30 время от времени дает более надежный прогноз. Это значит, что лучше все же оценивать оптимальное значение a по настоящим данным, чем применять неспециализированные советы.

На практике оптимальный параметр сглаживания довольно часто ищется с применением процедуры поиска на сетке. Вероятный диапазон значений параметра разбивается сеткой с определенным шагом. К примеру, рассматривается сетка значений от a = 0,1 до a = 0,9 с шагом 0,1. После этого выбирается такое значение a, для которого сумма квадратов (либо средних квадратов) остатков (замечаемые значения минус прогнозы на ход вперед) есть минимальной.

Микрософт Excel располагает функцией Exponential Smoothing (Экспоненциальное сглаживание), которая в большинстве случаев употребляется для сглаживания уровней эмпирической временного последовательности на базе способа несложного экспоненциального сглаживания. Для вызова данной функции нужно на панели меню выбрать команду Tools ? Data Analysis. На экране раскроется окно Data Analysis, в котором направляться выбрать значение Exponential Smoothing (Экспоненциальное сглаживание). В следствии покажется диалоговое окно Exponential Smoothing.

В диалоговом окне Exponential Smoothing задаются фактически те же параметры, что и в рассмотренном выше диалоговом окне Moving Average.

1. Input Range (Входные эти) — в это поле вводится диапазон ячеек, содержащих значения исследуемого параметра.

2. Labels (Метки) — этот флажок опции устанавливается в том случае, если
первая строка (столбец) во входном диапазоне содержит заголовок. В случае если заголовок отсутствует, флажок направляться скинуть. В этом случае для данных выходного диапазона будут машинально созданы стандартные заглавия.

3. Damping factor (Фактор затухания) — в это поле вводится значение выбранного коэффициента экспоненциального сглаживания а. По умолчанию принимаете значение а = 0,3.

4. Output options (Параметры вывода) — в данной группе, кроме указания диапазона ячеек для выходных данных в поле Output Range (Выходной диапазон), возможно кроме этого настойчиво попросить машинально выстроить график, для чего нужно установить флажок опции Chart Output (Вывод графика), и вычислить стандартные погрешности, для чего необходимо установить флажок опции Standart Erroг (Стандартные погрешности).

Задание 2. Посредством программы Микрософт Excel, применяя функцию Экспоненциального сглаживания (Exponential Smoothing), на основании информации об количестве выпуска Задания 1 вычислить сглаженные стандартные погрешности и уровни выпуска. После этого представить фактические и прогнозируемые эти посредством диаграммы. Подсказка: обязана оказаться график и таблица, подобный выполненному в задание 1, но с другими сглаженными стандартными погрешностями и уровнями.

Способ аналитического выравнивания

Главным содержанием способа аналитического выравнивания временных последовательностей есть расчет неспециализированной тенденции (тренда) как функции времени:

где — теоретические значения временного последовательности, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) значений , производится на базе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает главную тенденцию временного последовательности.

Несложными моделями (формулами), высказывающими тенденцию, являются следующие:

линейная функция, график которой есть прямой линией:

— показательная функция:

Yt = a0 * a1t

— степенная функция второго порядка, график которой есть параболой:

Yt = a0 + a1* t + a2* t2

— логарифмическая функция:

Yt = a0 + a1* ln t

Расчет параметров функции в большинстве случаев производится способом мельчайших квадратов, в котором в качестве ответа принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическим и эмпирическим уровнями:

где — выровненные (расчетные) уровни, а Yt — фактические уровни.

Параметры уравнения ai удовлетворяющие этому условию, смогут быть отысканы ответом совокупности обычных уравнений. На базе отысканного уравнения тренда вычисляются выровненные уровни.

Выравнивание по прямой употребляется в тех случаях, в то время, когда безотносительные приросты фактически постоянны, т.е. в то время, когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (либо близко к ней).

Выравнивание по показательной функции используется, в то время, когда последовательность отражает развитие в геометрической профессии, т.е. цепные коэффициенты роста фактически постоянны.

Выравнивание по степенной функции (параболе второго порядка) употребляется, когда последовательности динамики изменяются с постоянными цепными темпами прироста.

Выравнивание по логарифмической функции используется, в то время, когда последовательность отражает развитие с замедлением роста в конце периода, т.е. в то время, когда прирост в конечных уровнях временного последовательности пытается к нулю.

По вычисленным параметрам выполняется синтез трендовой модели функции, т.е. получение значений a 0, a1, a,2 и их подстановка в искомое уравнение.

Правильность расчетов аналитических уровней возможно проверить по следующему условию: сумма значений эмпирического последовательности обязана совпадать с суммой вычисленных уровней выровненного последовательности. Наряду с этим может появиться маленькая погрешность в расчетах из-за округления вычисляемых размеров:

Для оценки точности трендовой модели употребляется коэффициент детерминации:

где — дисперсия теоретических данных, взятых по трендовой модели, а — дисперсия эмпирических данных.

Трендовая модель адекватна изучаемому процессу и отражает тенденцию его развития при значениях R2, родных к 1.

По окончании выбора самая адекватной модели возможно сделать прогноз на любой из периодов. При составлении прогнозов оперируют не точечной, а интервальной оценкой, определяя так именуемые доверительные промежутки прогноза. Величина доверительного промежутка определяется в общем виде следующим образом:

где среднее квадратическое отклонение от тренда; ta — табличное значение t- критерия Стьюдента при уровне значимости a, которое зависит от уровня значимостиa(%) и числа степеней свободы к = п — т. Величина — определяется по формуле:

где и – фактические и расчетные значения уровней динамического последовательности; п — число уровней последовательности; т— количество параметров в уравнении тренда (для уравнения прямой т — 2, для уравнения параболы 2-го порядка т = 3).

По окончании нужных расчетов определяется промежуток, в котором с определенной возможностью будет пребывать прогнозируемая величина.

Посредством Микрософт Excel строить трендовые модели достаточно легко. Сперва эмпирический временной последовательность направляться представить в виде диаграммы одного из следующих типов: гистограмма, линейчатая диаграмма, график, точечная диаграмма, диаграмма с областями, а после этого щелкнуть на диаграмме правой кнопкой мыши на одном из маркеров данных. В следствии на диаграмме будет выделен сам временной последовательность, а на экране раскроется контекстное меню. В этом меню направляться выбрать команду Add Trendline (Добавить линию тренда). На экран будет выведено диалоговое окно Add Trendline.

На вкладке Туре (Тип) этого диалогового окна выбирается требуемый тип тренда:

1. линейный (Linear);

2. логарифмический (Logarithmic);

3. полиномиальный, от 2-й до 6-й степени включительно (Polinomial);

4. степенной (Power);

5. экспоненциальный (Exponential);

6. скользящее среднее, с указанием периода сглаживания от 2 до 15 (Moving Average).

На вкладке Options (Параметры) этого диалогового окна задаются дополнительные параметры тренда.

1. Trendline Name (Наименование сглаженной кривой) — в данной группе выбирается название, которое будет выведено на диаграмму для обозначения функции, использованной для сглаживания временного последовательности. Вероятны следующие варианты:

¦ Automatic (Автоматическое) — при установке тумблера в это положение Микрософт Excel машинально формирует наименование функции сглаживания тренда, основываясь на выбранном типе тренда, к примеру Linear (Линейная функция).

¦ Custom (Второе) — при установке тумблера в данное положение в поле справа возможно ввести собственное наименование для функции тренда, длиной до 256 знаков.

2. Forecast (Прогноз) — в данной группе возможно указать, на какое количество периодов вперед (поле Forward) требуется спроектировать линию тренда в будущее и на какое количество периодов назад (поле Backward) направляться спроектировать линию тренда в прошлое (эти поля недоступны в режиме скользящего среднего).

3. Set intercept (Пересечение кривой с осью Y в точке) — данный флажок опции и расположенное справа поле ввода разрешают конкретно указать точку, в которой линия тренда обязана пересекать ось Y (эти поля дешёвы не для всех режимов).

4. Display equation on chart (Показывать уравнение на диаграмме) — при установке этого флажка опции на диаграмму будет выведено уравнение, обрисовывающее сглаживающую линию тренда.

5. Display R-squared value on chart (Поместить на диаграмму величину точности аппроксимации R2) — при установке данного флажка опции на диаграмме будет продемонстрировано значение коэффициента детерминации.

Вместе с линией тренда на графике временного последовательности смогут быть кроме этого изображены планки погрешностей. Для вставки планок погрешностей нужно выделить последовательность данных, щелкнуть на нем правой кнопкой мыши и выбрать в раскрывшемся контекстном меню команду Format Data Series. На экране раскроется диалоговое окно Format Data Series (Формат последовательности данных), в котором направляться перейти на вкладку Y Error Bars (Y-погрешности).

На данной вкладке посредством тумблера Error amount (Величина погрешности) выбирается вариант и тип планок их расчета в зависимости от вида погрешности.

1. Fixed value (Фиксированное значение) — при установке тумблера в это положение за допустимую величину неточности принимается заданное в поле счетчика справа постоянное значение;

2. Percentage (Относительное значение) — при установке тумблера в данное положение для каждой точки данных вычисляется допустимое отклонение, исходя из заданного в поле счетчика справа значения процента;

3. Standard deviation(s) (Стандартное отклонение) — при установке тумблера в данное положение для каждой точки данных вычисляется стандартное отклонение, которое после этого умножается на заданное в поле счетчика справа число (коэффициент кратности);

4. Standard error (Стандартная погрешность) — при установке тумблера в данное положение принимается стандартная величина неточности, постоянная для всех элементов данных;

5. Custom (Пользовательская) — при установке тумблера в это положение вводится произвольный массив значений отклонений в хорошую и/либо отрицательную сторону (возможно ввести ссылки на диапазон ячеек).

Планки погрешностей также возможно форматировать. Для этого их направляться выделить щелчком правой кнопки мыши и выбрать в раскрывшемся контекстном меню команду Format Error Bars (Формат планок погрешностей).

Задание 3.Посредством программы Микрософт Excel на основании информации об количестве выпуска Задания 1 нужно:

— представить временной последовательность в виде графика, выстроенного посредством мастера диаграмм. После этого добавить линию тренда, подбирая самый подходящий вариант уравнения.

— Представить полученные результаты в виде таблицы «Подбор уравнения тренда»:

Таблица «Подбор уравнения тренда»

Вид уравнения Отысканное уравнение Коэффициент детерминации R2
Линейное Y=
Логарифмическое Y=
Полином второго порядка Y=
Полином третьего порядка Y=
Степенное Y=
Экспоненциальное Y=

— Представить выбранное уравнение графически, вынеся в график информацию о наименовании взятой функции и величину достоверности аппроксимации (R2).

Задание 4. Ответьте на следующие вопросы:

1. При анализе тренда для некоего комплекта данных коэффициент детерминации для линейной модели был равен 0,95, для логарифмической — 0,8, а для полинома третьей степени — 0,9636. Какая трендовая модель самый адекватна изучаемому процессу:

а) линейная;

б) логарифмическая;

в) полином 3-й степени.

2. Согласно данным, представленным в задании 1, спрогнозируйте количество выпуска продукции в 2003 году. Какая неспециализированная тенденция поведения исследуемой величины направляться из результатов вашего прогноза:

а) отмечается спад производства;

б) производство остается на прошлом уровне;

в) отмечается рост производства.

Резюме

В данном материале были рассмотрены главные характеристики временного последовательности, модели декомпозиции временного последовательности, и главные способы сглаживания последовательности — способ скользящего среднего, экспоненциального сглаживания и аналитического выравнивания. Для решения этих задач Микрософт Excel предлагаются такие инструменты, как Moving Average (Скользящее среднее) и Exponential Smoothing (Экспоненциальное сглаживание), каковые разрешают сглаживать уровни эмпирического временного последовательности, и команда Add Trendiine (Добавить линию тренда), которая разрешает строить модели тренда и делать прогноз на базе имеющихся значений временного последовательности.

P.S. Дабы включить «Пакет анализ данных», выберите команду Tools Data Analysis (Сервис Анализ данных).

В случае если Data Analysis отсутствует, то нужно выполнить следующие действия:

1. Выбрать команду Tools Add-ins (Надстройки).

2. Выбрать в предложенном перечне настроек значение Analysis ToolPak (Пакет анализа), а после этого щелкнуть ОК. Затем будет выполнена подключение и загрузка к Excel пакета настройки «Анализ данных». Соответствующая команда покажется в меню Tools.

Построение прогноза посредством подхода экспоненциального сглаживания


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: