Модель задачи из теории массового обслуживания

Теория массового обслуживания – раздел прикладной математики, что изучает свойства совокупностей массового обслуживания (СМО) с целью увеличения эффективности их работы.

Совокупность массового обслуживания – это совокупность взаимосвязанных объектов (устройств), предназначенная для обслуживания заявок (требований), поступающих в совокупность в случайные моменты времени. Наряду с этим не только моменты поступления заявок в совокупность, но и продолжительность обслуживания каждой заявки являются случайные размеры.

Самый распространенными примерами таких совокупностей являются билетные кассы, совокупности связи, АЗС, сервисные центры, ремонтные мастерские, аудиторские компании, телефонные станции, банки, работы скорой помощи и такси, компьютерные сети и т. д.

Условно СМО возможно изобразить в виде следующей схемы.

Входящий поток – это поток требований, поступающих в совокупность, а выходящий поток – покидающих совокупность.

Входящий поток именуют несложным, в случае если выполняются следующие три свойства:

– в любой момент времени в совокупность не имеет возможности поступить более одной заявки,

– возможность числа заявок, поступающих за этот временной отрезок, зависит лишь от длины этого промежутка и не зависит от места его размещения на оси времени,

– возможность числа заявок, поступающих в совокупность за этот временной отрезок, не зависит от числа заявок поступивших в нее в прошлые промежутки времени.

Состоянием СМО сейчас именуют неспециализированное число требований (заявок), находящихся в совокупности сейчас. Тогда совокупность может иметь следующие состояния:

– в совокупности нет заявок,

– в совокупности 1 заявка,

– в совокупности 2 заявки, и т. д.

Так, знак обозначает событие, пребывающее в том, что в совокупности в момент имеется заявок. Пускай – возможность того, что в момент совокупность будет в состоянии .

Про совокупность говорят, что она функционирует в стационарном режиме, в случае если возможность ее нахождения в состоянии имеется величина, зависящая лишь от числа и не зависящая от момента длительности функционирования нахождения и рассмотрения системы совокупности в состоянии .

Разглядим совокупность, которая функционирует в стационарном режиме, имеет несложный поток со средней интенсивностью, равной (интенсивность потока – это среднее число заявок, поступающих в совокупность в единицу времени). Пускай в совокупности имеется один прибор, что в единицу времени в среднем обслуживает заявок ( средняя производительность прибора).

В случае если нет никаких дополнительных ограничений на длину очереди (либо количество заявок в совокупности), то совокупность именуется совокупностью без утрат (без ограничений) и в ней может пребывать любое число заявок. Выясняется, что для таковой совокупности имеют место следующие формулы: , (6)

и . (7)

Поясним, как получается значение для . Потому, что СМО есть совокупностью без ограничений, то случайная величина принимает вечно большое количество значений, и следовательно, имеется вечно большое количество значений возможностей , сумма которых равна 1: . В силу формулы для вычисления , будем иметь

.

Из этого , и без того как сумма есть суммой вечно убывающей геометрической прогрессии с первым участником и таким же знаменателем, то находится из уравнения , и .

Отношение обозначают знаком и именуют коэффициентом применения совокупности. С введением этого коэффициента, возможности и возможно вычислять по формулам ; .

Применяя указанные формулы, легко составить закон распределения случайной величины и отыскать главные характеристики совокупности.

Разглядим конкретную задачу.

Задача 22. Пускай СМО функционирует в стационарном режиме, имеет один прибор со средней производительностью , наряду с этим поток заявок, поступающих на обслуживание, считается пуассоновским, а его средняя интенсивность заявкам в 60 секунд. Требуется выяснить:

а) возможность того, что в очереди будет более двух заявок. б) возможность того, что в очереди ровно заявок;

в) возможность того, что заявке не нужно будет ждать собственного обслуживания.

Ответ. а)В очереди больше двух заявок тогда, в то время, когда в совокупности больше трех заявок (в этом случае мельчайшее число заявок в совокупности образуется из двух заявок в очереди и одной заявки на приборе). Следовательно, искомая возможность равна суме возможностей вероятных состояний совокупности, начиная с : .

Так как для функционирования (без “затоваривания”) совокупности нужно условие , то сумма есть суммой вечно убывающей геометрической прогрессии с знаменателем и первым членом . Тогда , и без того как , то .

б)В очередировно заявок тогда, в то время, когда в совокупности находятся заявка. Возможность для того чтобы события .

в) Заявке не нужно будет ждать в том случае, в то время, когда совокупность безлюдна – в ней нет ни одной заявки. Следовательно, ответом есть возможность : .

23.Пускай совокупность функционирует в режиме задачи 22, причем . Отыщите возможность того, что а) в очереди будет не более двух заявок; в) в очереди будет ровно 3 заявки; с) заявке не нужно будет ждать.

Разглядим сейчас СМО, которая функционирует в том же режиме, что и в прошлых задачах, но с ограничениями (с утратами). Пускай число заявок в очереди не может быть более двух. Это указывает, что в совокупности не имеет возможности пребывать более трех заявок, и каждая четвертая заявка, приходящая в совокупность, приобретает отказ (теряется). В этом случае для вычисления возможностей событий при кроме этого используется формула (6), но возможность находится в противном случае. В этом случае , и следовательно, , где –сумма четырех участников геометрической прогрессии, у которой первый член равен 1, а знаменатель .

Задача 24. Пускай направляться функционирует в стационарном режиме, имеет один прибор со средней производительностью , наряду с этим поток заявок, поступающих на обслуживание, считается пуассоновским, и его средняя интенсивность заявкам в 60 секунд. Кроме этого предполагается, что очередь на обслуживание не имеет возможности быть больше двух заявок. Требуется выяснить:

а) возможность того, что приходящая заявка получит отказ;

б) среднее число заявок в очереди;

в) среднее время ожидания.

Ответ. Так как в очереди не может быть более двух заявок, то самое большее число заявок в совокупности – 3 (это число равно устройств + предельное количество заявок в очереди). В соответствии с фундаментальному свойству стационарного режима работы СМО,

, и

.

Из этого отыщем, что . Сейчас возможно составить закон распределения случайной величины :

а) Приходящая заявка получит отказ, в случае если в совокупности 3 заявки, другими словами в случае если прибор занят и 2 заявки в очереди. Так, возможность этого события равна .

б) Среднее число заявок в очереди равняется математическому ожиданию случайной величины: .

в) Среднее время нахождения заявки в совокупности вычисляется по формуле Литтла: . В отечественной задаче (мин.).

Лекция 19: Статистическое моделирование совокупностей массового обслуживания


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: