Начисление сложных процентов

В денежной практике большая часть расчетов ведется с применением сложных процентов.

Принципиальное отличие сложных процентов от несложных в том, что база для исчисления процентного платежа (дисконта) изменяется в течении всего срока денежной операции за счет периодического присоединения (снятия) начисленного ранее дохода (скидки), тогда как база при применении несложных процентов остается неизменной.

Наращение по сложным процентам возможно представить как последовательное реинвестирование средств, положенных под простые проценты на один период начисления.

Процедуру присоединения начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления именуют капитализацией процентов либо реинвестированием.

Из-за постоянного роста базы благодаря реинвестирования процентов рост начальной суммы денежных средств осуществляется с ускорением. График начисления несложных и сложных процентов представлен на рис. 4.

P

Рис. 4. График начисления несложных и сложных процентов

В большинстве случаев, сложные проценты используются в средне- и долговременных денежных операциях. Но в любом случае, если начисленные проценты (к примеру, по вкладу) капитализируются, расчеты итоговой наращенной суммы направляться вести по формулам сложных процентов, и при:

u исчислении возросшей на проценты суммы задолженности, в случае если проценты начисляются и присоединяются к главной сумме долга;

u неоднократном учете ценных бумаг (переучёте и учёте на однообразных условиях);

u определении арендой платы при лизинговом обслуживании;

u оценке бескупонных облигаций;

u определении трансформации цены денег под влиянием инфляции;

u дисконтировании финансовых сумм за последовательность периодов времени в несложном проектном анализе.

Исчисление эффективности операций, по которым проценты выплачиваются(не капитализируются), направляться вести кроме этого по формуле сложного процента исходя из возможности реинвестирования дохода на прошлых условиях.

В практике при инвестировании денежных средств в кратковременные депозиты время от времени прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по несложным процентам в пределах заданного неспециализированного срока, т.е. к реинвестированию взятых на каждом этапе наращения средств. Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае

где i – ставки, по которым производится реинвестирование.

В случае если ставки и периоды начисления не изменяются во времени, то формула имеет форму:

,

где m – количество реинвестиций.

Пример 10.Смирнов Е.Н. положил 100000 рублей 1 марта на месячный депозит под 20% годовых. Какова наращенная сумма, в случае если операция повторяется три раза?

Ответ:

руб.

В случае если начисляются правильные проценты с правильным числом дней

руб.

В случае если обычные проценты с приближенным числом дней.

Отыщем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты), т.е. используется сложная годовая ставка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по несложным процентам:

Рс – начальный сумма долга (ссуды, кредита и т.д.);

Sс –наращенная сумма;

п – промежуток начисления (число лет наращения).

Ставку наращения по сложным процентам обозначим как iс. В тех случаях, в то время, когда в один момент речь заходит о несложных и сложных процентах, для ставки несложных процентов будем использовать подстрочный индекс «п».

Разумеется, что в конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма составит Р + Pi = Р*(1 + i).

К концу второго года она достигнет величины Р*(1 + i) + Р*(1 + i) = Р(1 + i)2 и т.д.

В конце i-го года наращенная сумма будет равна

Выражение (1 + iс)n именуют коэффициентом (множителем) наращения по сложным процентам. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля, тысячи и т.д.).

Пример 11.Какой величины достигнет долг, равный 100000 рублей, через пять лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?

Ответ:

руб.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров – i и n.направляться подчернуть, что при громадном сроке наращения кроме того маленькое изменение ставки заметно воздействует на величину множителя. Со своей стороны большой срок ведет к устрашающим итогам кроме того при маленькой процентной ставке.

Эта формула взята для годовой срока и процентной ставки, измеряемого в годах. Но ее возможно использовать и при вторых периодах начисления. В этих обстоятельствах i – ставка за период начисления, n–число таких периодов.

К примеру, в случае если i – ставка за полугодие, то n – число полугодий и т.д.

Переменные ставки.Формула сложного процента предполагает постоянную ставку в течении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-финансового рынка заставляет модернизировать «хорошую» схему, к примеру посредством применения плавающих ставок. Конечно, что расчет на возможность по таким ставкам очень условен. Иное дело расчет постфактум. В этом случае, и тогда, в то время, когда значения переменных ставок фиксируются в договоре, неспециализированный множитель наращения определяется как произведение частных множителей

,

где i1, i2, ik –последовательные во времени значения ставок;

n1, n2, nk–периоды, в течение которых используются соответствующие ставки.

Пример 12. Срок ссуды – 5 лет, договорная ставка – 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% – в оставшиеся. Множитель наращения в этом случае составит:

Ответ:

Начисление процентов при дробном числе лет.Довольно часто срок для начисления процентов не есть целым числом. В правилах последовательности коммерческих банков для некоторых операций в этих обстоятельствах проценты начисляются лишь за целое число лет (или других периодов начисления). В большинстве же случаев учитывается полный срок. Наряду с этим используются два способа. В соответствии с первому, назовем его неспециализированным,расчет ведется конкретно по формуле . Второй, смешанный,способ предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и по формуле несложных процентов за дробную часть периода:

,

где а + b = n

а – целое число периодов;

b – дробная часть периода.

При выборе способа направляться иметь в виду, что множитель наращения по смешанному способу выясняется больше, чем по неспециализированному способу, поскольку для n (1 + i)n. Громаднейшая отличие отмечается при b=1/2.

Пример 13. Кредит в размере 3 млн. рублей выдан на три дней и 160 года (n = 3, 160/365 = 3,4384 года) под 16,5% сложных годовых. Отыскать сумму долга:

Ответ:

Неспециализированный способ:

руб.

Смешанный способ:

руб.

Сложные проценты и как их вычислить . Калькулятор сложных процентов от Андрея Малахова


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: