Неоклассическая задача потребления

В этом параграфе мы будем изучать поведение потребителя, стесненного бюджетными ограничениями. Будем предполагать, что любой товар имеет некую цену, а потребитель владеет определенной суммой денег, тратя каковые на приобретение товаров, он пытается к максимизации собственной функции полезности. Думаем, что область определения функции полезности сходится с , а сама эта функция имеет постоянные частные производные по каждому доводу в тех точках, в которых эти производные имеют суть (а не имеет смысла в том месте, где координата равна нулю). Величину именуют предельной полезностью -го товара в комплекте . Из теоремы ненасыщения направляться, что предельные полезности неотрицательным. Мы потребуем более сильного условия, предполагая что все предельные полезности хороши. Пускай — сумма денег, которой располагает потребитель. Допуская определенную вольность речи, будет именовать ее капиталом. Пускай потом — вектор стоимостей, где — цена -го товара. Будем вычислять, что . Бюджетные ограничения, отражающие то событие, что неспециализированные затраты потребителя не смогут превышать его капитала, запишется в виде либо в векторной форме . Множество именуют допустимым множеством потребителя, а — бюджетной линией.

Неоклассическая задача потребления содержится в выборе для того чтобы комплекта из допустимого множества , что есть самым предпочтительным, другими словами для всех остальных комплектов выполняется соотношение . В терминах функции полезности задача формулируется следующим образом:

(1)

Задача (1) есть задачей нелинейного программирования с функциональными ограничениями типа неравенств, и в частности задачей выпуклого программирования, в случае если вогнутая функция. Такие задачи исследуются в курсе способы оптимизации. Известное из курса матанализа хорошее правило множителей Лагранжа честна для задач с ограничениями типа равенств, и к задаче (1) конкретно использоваться не имеет возможности. Однако, как на данный момент будет продемонстрировано, результат выясняется нужным и в этом случае.

В первую очередь увидим, что задача (1) имеет ответ, потому, что допустимое множество потребителя является компактом . Из теоремы ненасыщения направляться, что ответ лежит на бюджетной линии. Так, задача (1) эквивалентна следующей задаче:

(2)

Пускай — ответ задачи (2). , 111

Обозначим через вектор компоненты которого из … фиксированы и равны нулю. Легко видеть, что будет точкой локального максимума в следующей задаче:

. Для таковой задачи уже применима хорошая функция множителей Лагранжа

В соответствии с хорошему правилу множителей Лагранжа, существует такое число , что 333

Эти равенства эквивалентны следующим:

Потому, что цены и предельные полезности хороши, то из (3) приобретаем: . Так, предельные полезности получаемых товаров в оптимальном комплекте пропорциональны стоимостям товаров.

Данный факт был подмечен достаточно давно. Кое-какие экономисты пробовали применять его для обоснования того, что стоимости определяются предельными полезностями. Очевидно, связь между полезностью товаров и ценами существует, но не такая прямая. Трактовать формулу (3) подобным образом некорректно. При выводе данной формулы мы думали, что цены уже заданы, и потребитель подстраивается под имеющиеся стоимости при достижении собственной цели.

Дополнительно с прошлого года

Макроэкономика: Новая Кейнсианская теория #9


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: