Нормальное распределение (распределение гаусса)

Обычный закон распределения

Определение. Нормальнымназывается распределение возможностей постоянной случайной величины, которое описывается плотностью возможности

Обычный закон распределения кроме этого именуется законом Гаусса.

Обычный закон распределения занимает центральное место в теории возможностей. Это обусловлено тем, что данный закон проявляется в любых ситуациях, в то время, когда случайная величина результат действия солидного числа разных факторов. К обычному закону приближаются все остальные законы распределения.

Возможно легко продемонстрировать, что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно средним и математическим ожиданием квадратическим отклонением случайной величины Х.

График плотности обычного распределения именуется обычной кривойили кривой Гаусса.

Обычная кривая владеет следующими особенностями:

1) Функция выяснена на всей числовой оси.

2) При всех х функция распределения принимает лишь хорошие значения.

3) Ось ОХ есть горизонтальной асимптотой графика плотности возможности, т.к. при неограниченном возрастании по безотносительной величине довода х, значение функции пытается к нулю.

Обычное распределение (распределение Гаусса)

Обычный закон распределения характеризуется плотностью возможности вида

, (3.14)

где mx, sx — соответственно среднеквадратическое отклонение и математическое ожидание случайной величины х.

При анализе надежности электроустановок в виде случайной величины, не считая времени, довольно часто выступают значения тока, других аргументов и электрического напряжения. Обычный закон — это двухпараметрический закон, для записи которого необходимо знать mx и sx.

Возможность безотказной работы определяется по формуле

, (3.15)

а интенсивность отказов — по формуле

.

На рис. 3.5 изображены кривые l(t), Р(t) и¦ (t) для случая st

В данном пособии продемонстрированы лишь самый распространенные законы распределения случайной величины. Известен множество законов, так же применяемых в расчетах надежности [4, 9, 11, 13, 15, 21]: гамма-распределение, -распределение, распределение Максвелла, Эрланга и др.

направляться подчернуть, что в случае если неравенство st

Для обоснованного выбора типа практического распределения наработки до отказа нужно много отказов с объяснением физических процессов, происходящих в объектах перед отказом.

В высоконадежных элементах электроустановок, на протяжении эксплуатации либо опробований на надежность, отказывает только малый часть первоначально имеющихся объектов. Исходя из этого значение числовых черт, отысканное в следствии обработки умелых данных, во многом зависит от типа предполагаемого распределения наработки до отказа. Как продемонстрировано в [13,15], при разных законах наработки до отказа, значения средней наработки до отказа, вычисленные по одним и тем же исходным данным, смогут различаться в много раз. Исходя из этого вопросу выбора теоретической модели распределения наработки до отказа нужно уделять особенное внимание с соответствующим доказательством приближения теоретического и экспериментального распределений (см. разд. 8).

  • Модели и моделирование.

Исследуя объекты окружающего мира, мы вынуждены как-то отображать результаты изучения чтобы, с одной стороны, представить их и виде, эргономичном для анализа, а с другой для их передачи и хранения в пространстве либо времени. Проектируя, создавая что-то новое, мы первоначально формируем некий образ этого нового. Руководя чем-либо, мы, в большинстве случаев, пробуем разбирать, к каким последствиям приведет управление. Перечисленные задачи требуют фиксации (представления) информации об объекте в виде некоего образа (словесного, графического и т. п.).
Вследствие этого в познавательной и практической деятельности человека громадную, если не ведущую, роль играются модели и моделирование. Особенно незаменимо моделирование при работе со сложными объектами (в частности, экономическими). Все это делает моделирование наиболее значимым инструментом системного анализа.

1. Моделирование
Модель в широком понимании — это образ (а также условный либо мысленный) какого-либо объекта либо совокупности объектов, применяемый при определенных условиях в качестве их «помощника» либо «представителя».
Модель — это упрощенное подобие объекта, которое воспроизводит интересующие нас характеристики и свойства объекта-оригинала либо объекта проектирования.
Моделирование связано с выяснением либо воспроизведением особенностей какого-либо настоящего либо создаваемого объекта, процесса либо явления посредством другого объекта, процесса либо явления.
Моделирование — это построение, совершенствование, применение и изучение моделей реально существующих либо проектируемых объектов (явлений и процессов).
Из-за чего мы прибегаем к применению моделей вместо попыток «прямого сотрудничества с настоящим миром»? Возможно назвать три главные обстоятельства.
Первая обстоятельство — сложность настоящих объектов. Число факторов, каковые относятся к решаемой проблеме, выходит за пределы людских возможностей. Исходя из этого одним из выходов (а довольно часто единственным) в ситуации есть упрощение обстановки посредством моделей, в следствии чего значительно уменьшается разнообразие этих факторов до отметки чувствительности эксперта.
Вторая обстоятельство — необходимость проведения опытов. На практике видится большое количество обстановок, в то время, когда экспериментальное изучение объектов ограничено большой ценой либо вовсе нереально (страшно, вредно, техники и ограниченность науки на современном этапе).
Третья обстоятельство — необходимость прогнозирования. Ответственное преимущество моделей пребывает в том, что они разрешают «посмотреть в будущее», дать прогноз развития обстановки и выяснить вероятные последствия решений.
Среди вторых обстоятельств возможно назвать следующие:
• исследуемый объект или весьма велик (модель Нашей системы), или мал (модель атома);
• процесс протекает весьма скоро (модель двигателя внутреннего сгорания) либо весьма медлительно (геологические модели);
• изучение объекта может привести к его разрушению (модель самолета, автомобиля).

1.1. Цели моделирования
Человек в собственной деятельности в большинстве случаев должен решать две задачи — экспертную и конструктивную.
В экспертной задаче на основании имеющейся информации описывается прошлое, настоящее и предсказывается будущее. Сущность конструктивной задачи содержится в том, дабы создать что-то с заданными особенностями.
Для решения экспертных задач используют так именуемые описательные модели, а для ответа конструктивных — нормативные.

1.2. Описательное моделирование
Описательные модели (дескриптивные, познавательные) предназначены для описания особенностей либо поведения настоящих (существующих) объектов. Они являются формой представления знаний о действительности.
Примеры. Замысел города, отчет о деятельности компании, психотерапевтическая черта личности.
Возможно назвать следующие цели описательного моделирования в зависимости от решаемых задач:
• изучение объекта (научные изучения) — самый полно и совершенно верно отразить свойства объекта;
• управление — самый совершенно верно отразить свойства объекта в рабочем диапазоне трансформации его параметров;
• прогнозирование — выстроить модель, талантливую самый совершенно верно прогнозировать поведение объекта в будущем;
• обучение — отразить в модели изучаемые особенности объекта. Построение описательной модели происходит по следующей схеме: наблюдение, кодирование, фиксация (рис. 1).

Рис. 1. Последовательность построения описательной модели.

Модель объекта возможно выстроить, лишь замечая за ним. То, что мы замечаем, нужно закодировать или посредством слов, или знаков, например, математических, или графических образов, или в виде физических предметов, процессов либо явлений. И наконец, закодированные результаты наблюдения нужно зафиксировать в виде модели.
Отражение особенностей объекта в модели не есть полным в силу различных обстоятельств: изюминок восприятия, точности и наличия измерительных устройств, потребности и, наконец, психологического состояния субъекта. В случае если обозначить все данные об объекте через Io , а принимаемую данные — Iв, то отражение математически возможно сформулировать следующим образом:

где Iв ? Io, либо в линейном приближении (рис. 2):

Рис. 2. Фильтрация информации об объекте.

где kс – информационная проницаемость среды – свойство среды по передаче информации от объекта к субъекту (0 ? kс ? 1);
kи – коэффициент измерительной свойстве (вооруженности) субъекта – свойство субъекта принимать (измерять) данные (0 kи 1);
kц – целевая избирательность субъекта – связана с потребностью в конкретных особенностях объекта (0 kц 1);
kп – психотерапевтическая избирательность субъекта – связана с его психотерапевтическим состоянием (0 kп ? 1).
Хотелось бы обратить внимание на субъективный темперамент моделей. Во все, что ни де-лает человек, среди них и построение моделей, он вкладывает собственную точку зрения. Это, например, может привести к тому, что мы принимаем собственную точку зрения за единственную, а карту местности — за саму местность, которую она воображает. Существуют следующие субъективные факторы, воздействующие на уровень качества создаваемых моделей.
Избирательность. Модель строится на основании наблюдений за объектом, но человек подмечает свойства объекта избирательно. На это воздействуют образование, мировоззрение, опыт, и настроение, эмоции, заботы и неспециализированное самочувствие. В следствии формируется модель, не отвечающая целям моделирования.
Конструирование — обратный аналог избирательности: мы начинаем видеть то, чего нет. Мы заполняем пробелы в информации о мире, дабы он купил некоторый суть и предстал перед нами в том виде, каким, согласно нашей точке зрения, он должен быть. Долгая эволюция воспитала нас дополнять замеченные фрагменты до полного образа: в случае если мы видим из-за дерева голову волка, то в мыслях дорисовываем его хвост и туловище. Исходя из этого в то время, когда при изучении объекта мы приобретаем неполную данные о нем, то нечайно заполняем информационные «пробелы», исходя из собственного опыта. В следствии можем взять модель, не адекватную объекту.
Искажение. Искажение проявляется в том, что мы строим модели окружающего мира, выделяя одни его составляющие за счет замалчивания вторых. В частности, искажение лежит в базе творческих свойств (поэта, живописца, композитора) и некоторых заболеваний, к примеру паранойи.
Обобщения. Пользуясь обобщением, мы создаем мысленные модели, забрав за базу один случай и обобщив его на все вероятные случаи. Обобщение есть базой статистических выводов, но при условии так называемой репрезентативной (представительной) выборки обстановок. Опасность обобщения пребывает в том, что, забрав какую-либо обстановку, человек расценивает ее как обычную и распространяет извлеченные из нее выводы на все сходные, согласно его точке зрения, ситуации (что, например, и есть базой суеверия).
Так, не все свойства объекта нам дешёвы из-за особенностей внешней среды, а из дешёвых не все мы можем измерить либо оценить. Из тех, что можем измерить, не все нам нужны. Из нужных особенностей мы не все из них адекватно принимаем из-за психологического состояния (невнимательности, субъективного предпочтения, страха и т. п.).
На основании принимаемой информации об объекте IB и формируется его образ, именуемый моделью.
Напоследок хотелось бы подметить, что для моделирования характерны кое-какие па-радоксы. Потому, что к моделированию мы прибегаем из-за сложности изучаемого объекта, то модель заведомо несложнее оригинала. Целевая избирательность отсекает несущественные, на отечественный взор (!), качества объекта. Но в ходе изучения ни при каких обстоятельствах нет 100%-ной уверенности в том, что несущественные качества вправду являются несущественными с позиций конкретной исследовательской задачи, исходя из этого имеется угроза «с водой выплеснуть ребенка».
Второй парадокс, что возможно назвать парадоксом «одноразовой посуды», связан с тем, что любая модель создается под определенную исследовательскую задачу и не всегда применима к ответу вторых, какой бы привлекательной модель ни была. Распространенный в науке перенос моделей с одной задачи на другую далеко не всегда оправдан и обоснован.

1.3. Нормативное моделирование
Моделировать возможно не только то, что существует, но да и то, чего еще нет. Нормативные модели (прескриптивные, прагматические) предназначены для определённого целей порядка и указания деятельности (метода) действий для их успехи.
Цель — образ желаемого будущего, т. е. модель состояния, на реализацию которого и направлена деятельность.
Метод — образ (модель) будущей деятельности.
При нормативном моделировании в большинстве случаев не применяют слово «модель» — чаще говорят «проект», «замысел».
Примеры. Проекты автомобилей, строений; замыслы застройки; законы; должностные инструкции и уставы организаций, бизнес-замыслы, программы действий, управленческие ответы.

* * *

Подведем итог. Описательные модели отражают существующее, их развитие направлено на приближение модели к действительности (в структурном системном анализе такая модель именуется моделью «Как имеется» — «As-Is»).
Нормативные модели показывают не существующее, но желаемое. Тут решается задача приближения действительности к модели, потому, что модель играет роль стандарта либо примера, под что «подгоняются» как сама деятельность, так и ее результаты (в структурном системном анализе она именуется моделью «Как должно быть» — «То-Ве»).

2. Классификация моделей
Выше была рассмотрена классификация моделей по целевому назначению. Помимо этого, познавательные и прагматические модели возможно классифицировать по характеру делаемых функций, форме, зависимости объекта моделирования от времени.

2.1. Функциональное назначение моделей
Возможно выделить следующие функции, делаемые моделями:
• исследовательская — используется в научном познании;
• практическая — используется в практической деятельности (проектировании, управлении и т. п.);
• тренинговая — употребляется для тренировки практических навыков и умений экспертов в разных областях;
• обучения — для создания у обучаемых знаний, навыков и умений.

2.2. Формы представления моделей
Модели по форме бывают:
• физические — материальные объекты, имеющие сходство с оригиналом (модель самолета, которая исследуется в аэродинамической трубе; модель плотины);
• словесные (вербальные) — словесное описание чего-либо (наружность человека, принцип работы устройства, структура предприятия);
• графические — описание в виде графических изображений (схемы, карты, графики, диаграммы);
• знаковые — описание в виде знаков и знаков (дорожные символы, условные обозначения на схемах, математические соотношения). Разновидностью знаковых моделей являются математические модели.
Математическая модель (либо математическое описание) — это совокупность математических соотношений, обрисовывающих изучаемый процесс либо явление.
Примеры математических моделей: X 5; U = IR; 34y+5x=0.

* * *

направляться обратить внимание на то, что естественные языки, на которых говорят разные народы, являются необычными моделями мира. Язык не только обозначает объекты, принимаемые, воображаемые либо мыслимые, но он организует отечественное восприятие, наше понимание и наши представления мира. Говоря об объектах, процессах, явлениях мира (внешнего либо внутреннего, настоящего либо мнимого, принимаемого либо мыслимого), мы пропускаем его через «сита» языка. Организующая роль языка сходу делается явной, в то время, когда обнаруживается, что различные языки по-различному организуют вселенную и ее восприятие, понимание и представление.
Язык отражает в собственной структуре определенные отношения реальности и действительные свойства. Он устроен так, как устроен настоящий мир. Но мир вечно богаче любой собственной ограниченной модели, среди них и языка. Структура действительности имеет многие отношения и всеобщие свойства. Язык отражает в собственных лингвистических значениях лишь кое-какие из отношений и этих свойств. И человек волей-неволей начинает принимать и воображать действительность в основном в рамках этих категорий.
Язык конкретной предметной области (ее тезаурус) кроме этого есть моделью данной предметной области. Изучение этого языка стало частью системных изучений, что отыскало собственный воплощение в онтологическом анализе.

3. Виды моделирования
Моделирование обширно распространено, исходя из этого достаточно полная классификация вероятных видов моделирования очень затруднительна хотя бы в силу многозначности понятия «модель», обширно применяемого не только в технике и науке, но и, к примеру, в мастерстве. Применительно к естественно-техническим, социально-экономическим и вторым наукам принято различать следующие виды моделирования:
• концептуальное моделирование, при котором посредством некоторых особых знаков, знаков, операций над ними либо посредством естественного либо неестественного языков истолковывается главная идея (концепция) довольно исследуемого объекта;
• интуитивное моделирование, которое сводится к мысленному опыту на базе практического опыта работников (активно используется в экономике);
• физическое моделирование, при котором модель и моделируемый объект являются настоящие объекты либо процессы единой либо разной физической природы, причем между процессами в объекте-оригинале и в модели выполняются кое-какие соотношения подобия, вытекающие из схожести физических явлений;
• структурно-функциональное моделирование, при котором моделями являются схемы, (блок-схемы), графики, чертежи, диаграммы, таблицы, картинки, дополненные специаль-ными правилами их преобразования и объединения:
• математическое (логико-математическое) моделирование, при котором моделирова-ние, включая построение модели, осуществляется средствами логики и математики;
• имитационное (программное) моделирование, при котором логико-математическая модель исследуемого объекта является алгоритмом функционирования объекта, реализованный в виде программного комплекса для компьютера.
Вышеперечисленные виды моделирования не являются взаимоисключающими и смогут использоваться при изучении сложных объектов или в один момент, или в некоей комбинации. Раздельно направляться сообщить о компьютерном моделировании, являющемся развитием имитационного моделирования.
Компьютерное моделирование. Первоначально под компьютерным моделированием (либо, как говорили, моделированием на ЭВМ) понималось только имитационное моделирование. Исторически произошло так, что первые работы по компьютерному моделированию были связаны с физикой. После этого созданные подходы распространились на задачи химии, электроэнергетики, биологии и другие дисциплины, причем схемы моделирования не через чур отличались друг от друга. Данный вид моделирования все еще обширно распространен и в научных, и прикладных изучениях.
Но сейчас понятие «компьютерное моделирование» чаще связывают не с фундаментальными дисциплинами, а прежде всего с системным анализом. Необходимо заметить, что компьютер возможно очень нужен при всех видах моделирования (за исключением физического моделирования, где компьютер также может употребляться, но, скорее, для целей управления процессом моделирования). Изменилось и понятие компьютерной модели. Раньше под компьютерной моделью значительно чаще осознавали имитационную модель — отдельную программу, совокупность программ либо программный комплекс, разрешающий посредством графического отображения и последовательности вычислений их результатов воспроизводить (имитировать) процессы функционирования объекта. На данный момент под компьютерной моделью значительно чаще знают структурно-функциональную модель — условный образ объекта, обрисованный посредством взаимосвязанных компьютерных таблиц, блок-схем, диаграмм, графиков, картинок, анимационных фрагментов, гипертекстов и отображающий взаимосвязи и структуру между элементами объекта.
Так, мы видим, что понятие «компьютерное моделирование» существенно шире классического понятия «моделирование на ЭВМ» и испытывает недостаток в уточнении, учитывающем сегодняшние реалии.
Компьютерное моделирование — это способ ответа задачи анализа либо синтеза объекта на базе применения его компьютерной модели.
Сущность компьютерного моделирования заключена в получении количественных и качественных результатов по имеющейся модели. Качественные выводы, приобретаемые по итогам анализа, разрешают найти малоизвестные ранее свойства объекта. Количественные выводы по большей части носят темперамент прогноза некоторых будущих либо объяснения прошлых значений переменных, характеризирующих совокупность.
Предметом компьютерного моделирования смогут быть: экономическая деятельность компании либо банка, промышленное предприятие, информационно-вычислительная сеть, технологический процесс, любой настоящий объект либо процесс, к примеру процесс инфляции. Цели компьютерного моделирования смогут быть разными, но чаще всего моделирование есть, как уже отмечалось ранее, центральной процедурой системного анализа.

Распределение Гаусса.


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: