Нормальному распределению

Чтобы установить, что результаты измерений принадлежат (или не принадлежат) тому или иному распределению, необходимо сравнить экспериментальную функцию распределения с предполагаемой теоретической. Сравнение осуществляется с помощью критериев согласия.

В случае проверки принадлежности результатов измерений к нормальному распределению при числе результатов n > 50 предпочтительным является один из критериев: Пирсона ?2 или Мизеса – Смирнова ?2. В работе используется критерий Пирсона.

При числе результатов измерений 15 < n < 50 производят приближенную проверку их принадлежности к нормальному распределению путем оценки коэффициента асимметрии и эксцесса.

При n < 15 гипотеза о принадлежности результатов измерений к какому-либо распределению не проверяется. Если при этом имеется априорная информация о том, что нет причин, которые могли бы вызвать заметное отклонение распределения результатов от нормального закона, для обработки результатов измерений используется распределение Стьюдента.

Для проверки принадлежности результатов измерений к нормальному распределению с помощью критерия согласия Пирсона необходимо сначала построить гистограмму.

Построение гистограммы включает в себя следующие этапы.

1. Исправленные результаты измерений располагаются в порядке возрастания: x1, x2,…, xn, где xi < xi+1.

2. Вычисляется диапазон изменения значений результатов измерений:

Rn = xn – x1.

3. Этот диапазон разбивается на r одинаковых интервалов (оценить необходимое количество интервалов можно по правилу: r =1+3,32 lg n с последующим округлением в большую сторону до ближайшего целого нечетного числа). Обычно r лежит в диапазоне от 7 до 15.

4. Определяется ширина интервала:

5. Определяются границы интервалов [xj-1, xj] так, чтобы верхняя граница j-го интервала xJв = j·?, а его нижняя граница совпадала с верхней границей (j – 1)-го интервала: xjн = x(j-1)н.

6. Для каждого j-го интервала (j = 1, 2,…, r) вычисляются числа nj – частость попадания результата измерений в интервал.

7. Строится гистограмма. Для этого по оси результатов измерений в порядке возрастания номеров откладываются интервалы ?j, и на каждом интервале строится прямоугольник, высота которого пропорциональна nj.

По результатам анализа гистограммы высказывается гипотеза о виде закона распределения экспериментальных данных и о численных характеристиках этого закона (для нормального распределения такими характеристиками являются математическое ожидание и дисперсия). После этого используют критерий согласия для проверки гипотезы.

Критерий согласия Пирсона ?2 характеризует меру отклонения результатов измерений от теоретически предсказанных и рассчитывается по формуле:

(3.4)

где nj – частость попадания результатов измерений в j-й интервал; Pj – теоретические значения вероятности попадания результатов в j-й интервал, которые вычисляются по формуле:

Pj = Ф(zjв) – Ф(z(j-1)в), (3.5)

где Ф(z) – функция Лапласа; Р1 = Ф(z1в).

Таблица значений функции Лапласа для некоторых z приведена в [1].

После вычисления значения ?2 для заданного уровня значимости ? и числа степеней свободы 휈 = r – k – 1 (где r – количество разрядов разбиения; k – число параметров, необходимых для определения теоретической функции распределения, причем для нормального распределения k = 2), по таблицам ?2 – распределения находят критическое значение критерия согласия ?2кр. В технической практике обычно задаются уровнем значимости ? = 0,05. Значения ?2кр для этого уровня значимости приведены в [1].

Если ?2 < ?2кр принимают гипотезу о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению, характеризующемуся математическим ожиданием и дисперсией, оценки которых дают формулы (3.1) и (3.2). В противном случае (?2 ? ?2кр) гипотеза отвергается.

Рандомно подобранные статьи с сайта:

Что такое нормальное распределение для Чайников


Похожие статьи:

admin