Однородность производственной функции

То, что представляется трансформацией около нас, — только скорость судна, покидающего данный мир.

Джалал ad-дин Руми (1207-1273)

Зависимость прироста выпуска продукции от повышения всех производственных факторов есть одной из ответственных черт производственного про-

1 I о о С, («равный» — греч.); clinamen («отклонение» — лат.).

Глава 5. теория и Фирма производства

К

Изоклиналь: MRTS = w/r

О I

Рис. 5.13. Линия роста компании (изоклиналь)

цесса компании в долговременном периоде. При рассмотрении производственной функции довольно часто исходят из того, что при повышении количества используемых факторов производства пропорционально возрастает и количество производства. Но на практике это не редкость далеко не всегда.

Довольно часто (но не обязательно неизменно) при повышении масштабов довольно небольшого производства выпуск растет опережающими темпами если сравнивать с повышением факторов производства. При таких условиях говорят, что имеет место возрастающая отдача от масштаба.

После этого, по мере предстоящего роста количеств производства, отдача от масштаба может равняться приросту факторов производства. Это случай постоянной отдачи от масштаба.

Наконец, достигнув какого-либо уровня, отдача от масштаба замедляется если сравнивать с повышением количеств используемых факторов производства. Это — убывающая отдача от масштаба.

Для оценки отдачи от масштаба применяют понятие однородности. Производственная функция именуется однородной, в случае если при повышении всех факторов производства в k раз количество выпуска возрастает в k раз. Тут t — показатель степени однородности. Так, производственная функция Q = Q(L, К) есть однородной в степени t, в случае если:

*Q-Q(kL,kK).

(5.19)

В случае если t= 1, то функция однородна в первой степени, а производство демонстрирует постоянную отдачу от масштаба. В этом случае говорят, что производственная функция линейно-однородная.

В случае если t 1, то имеет место возрастающая отдача от масштаба.

В случае если t 1 — налицо убывающая отдача от масштаба.

Поясним понятие отдачи от масштаба посредством графика (рис. 5.14).

В то время, когда производственный процесс компании характеризуется возрастающей отдачей от масштаба (отрезок ОА луча), изокванты становятся ближе друг к другу. Это указывает, что при пропорциональном повышении труда (5, 10, 15 и т.д.) и капитала (1, 2,3 и т. д.) количество производства возрастает ускоряющимися темпами.

Часть I. Базы рыночного анализа

О L

Рис. 5.14. Отдача от масштаба

При убывающей отдачи от масштаба (отрезок АВ луча), наоборот, изокванты находятся все дальше друг от друга, поскольку требуется все большее и большее количество факторов производства для повышения количеств производства.

О L

Рис. 5.15. Изокванты однородной производственной функции

При постоянной отдаче от масштаба (рис. 5.15) изокванты находятся равномерно.

Отдача от масштаба значительно различается для отраслей и разных фирм. При других равных условиях, чем больше отдача от масштаба, тем более большие фирмы действуют в данной отрасли. В большинстве случаев производственные отрасли характеризуются большей отдачей от масштаба, чем сферы одолжений, поскольку в материальном производстве требуются значительные капиталовложения в оборудование.

Возвратимся к производственной функции Кобба-Дугласа( Q = Л?аА*).Ее степень однородности равна (а + Ь). Особенным случаем есть функция Q = D/2K[/2, в то время, когда однородность функции Кобба-Дугласа линейна, т. е. демонстрирует постоянную отдачу от масштаба.

Однородная производственная функция владеет следующими особенностями. Во-первых, отношение предельных продуктов (MPK/MPL = MRTS) не изменяется,

Глава 5. теория и Фирма производства

в случае если затраты (К и L) изменяются пропорционально. Это значит, что в каждой точке любого луча, исходящего из начала координат на рис. 5.15 (т. е. в точках А, В, С и т. д.), наклон изоквант (Q,, Qr Q3 и т. д.) постоянен.

Во-вторых, в соответствии с теоремой Эйлера сумма частичных производных довольно свободной переменной равна произведению зависимой измененийной на степень однородности.

Теорема Эйлера:в случае если выражение Y = (Xv Х2, ¦¦,Хп) однородно, то ^^ЭУ/Э^, = tY, где t — показатель степени однородности.

При двухфакторной модели это указывает, что:

tQ-Lx MPL + KxMPK. (5.20)

Эти два свойства однородной производственной функции особенно серьёзны при анализе издержек (см. главу 6), и при изучении распределения дохода в конкурентной экономике.

отдача и Эластичность выпуска от масштаба.В случае если вычислять формой производственной функции долгого периода степенную функцию:

Q = ALaKb при а + Ъ = 1, то

показатели а и Ь равны коэффициентам эластичности по факторам:

_ MPL _ aAK^L-‘ _ bQl~ APL~ ARtLT1 ~° _ MPK РЛГХМ

APK ALaK^

Для характеристики отдачи от масштаба употребляется коэффициент эластичности выпуска от масштаба(е„к). Эта величина показывает, на какое количество изменится выпуск, в случае если темп роста количеств применения обоих факторов увеличится на единицу:

dQ К
^¦ = dK-Q- (5.21)

Коэффициент эластичности выпуска от масштаба характеризует степень однородности производственной функции, т. е. отдача от масштаба возможно представлена в универсальной форме:

Q,Ke-Q(tL,tK). (5.22)

В случае если показатель степени (е„?):

¦ 1, то отдача от масштаба возрастает;

¦ = 1, то отдача от масштаба постоянна;

¦

Теорема Викселя-Джонса: эластичность выпуска от масштаба равна сумме эластичностей выпуска от применяемых факторов:

еш = е

Анализ производственной функции Кобба-Дугласа


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: