Операции над событиями. теорема сложения и умножения вероятностей

Операции над событиями

Суммой либо объединением двух событий А и В именуется событие С, пребывающее в наступлении хотя бы одного из событий А либо В (безразлично, какого именно как раз, либо обоих совместно, в случае если это вероятно).

Символически записывают так:

С = А + В либо С = А В.

Сумма событий интерпретируется как объединение (сумма) множеств.

В случае если события изображать в виде областей на плоскости, то операция сложения допускает геометрическую интерпретацию:

а) соответствует случаю, в то время, когда события А и В несовместны.

б) соответствует случаю, в то время, когда А и В совместные события.

Из определения суммы событий вытекают следующие особенности.

Свойства сложения

1) А + В = В + А (коммутативность)

2) (А + В) + С = А + (В + С) (ассоциативность)

3) А + = U (точное событие)

Произведением либо пересечением двух событий А и В именуется событие С, пребывающее в одновременном наступлении А и В.

Символически произведение записывают так:

либо .

Геометрически произведение нарисовано на (рис. б) в виде заштрихованной области.

Для произведения событий имеют место свойства:

1) (коммутативность)

2) (ассоциативность)

3) (дистрибутивность)

4) (неосуществимое событие)

Ясно, что объединения событий и понятие пересечения переносятся на произвольное число событий.

Суммой либо объединением нескольких событий А1, А2, . . . Аn именуется событие С, пребывающее в наступлении хотя бы одного (по крайней мере одного) из событий А1, А2, . . . Аn.

либо

Произведением либо пресечением нескольких событий А1, А2, . . . Аn именуется событие С, пребывающее в одновременном наступлении всех событий А1, А2, . . . Аn.

либо

Пример. Отыскать сумму событий:

1) Опробование – бросание игральной кости.

А – «появление одного очка»;

В – «появление двух очков»;

С – «появление трех очков».

Ответ: А + В + С = D – «появление не более трех очков».

2) Опробование – приобретение лотерейных билетов.

А – «выигрыш 100 рублей»;

В – «выигрыш 200 рублей»;

С – «выигрыш 300 рублей».

Ответ: А + В + С = D – «по лотерее побеждено или 100, или 200, или 300 рублей.

Пример. Отыскать произведение событий:

1) Опробование – два выстрела по мишени.

А – «попадание первым выстрелом»;

В – «попадание вторым выстрелом».

Ответ: — «попадание первыми двумя выстрелами».

2) Опробование – бросание игральной кости.

А – «непоявление трех очков»;

В – «непоявление пяти очков»;

С – «появление нечетного числа очков».

Ответ: — «появление одного очка».

Мы уже вычисляли возможность события конкретно, исходя из определения. Данный путь ведет к верному ответу лишь в самых несложных случаях. В большинстве случаев же прямой подсчет, как всех финалов, так и тех из них, каковые являются помогающими, выясняется неудобным, а время от времени и фактически неосуществимым из-за собственной сложности. Вычисление возможности возможно упростить, в случае если применять теоремы, устанавливающие связи между возможностями событий.

Операции над возможностями

Теорема 1: Возможность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме возможностей этих событий, т.е.

Подтверждение. Пускай событию А помогают k финалов, событию В – l финалов. События А и В несовместны, исходя из этого, в случае если n – неспециализированное число равновозможных несовместных элементарных событий, из-за которого может случиться одно из событий А либо В, то среди них нет таких, каковые в один момент помогали бы и событию А и событию В. Следовательно, событию А+В будет помогать ровно k+l финалов. По определению возможности имеем:

т.е. что и требовалось доказать.

Эта теорема именуется теоремой сложения несовместных событий.

Из данной теоремы вытекают кое-какие следствия:

Следствие 1. Сумма возможностей противоположных событий равна единице, т.е.

Подтверждение. Потому, что события и несовместны, то к ним применима теорема сложения: но событие точное, исходя из этого:

Следствие 2. Возможность суммы нескольких несовместных событий равна сумме возможностей этих событий, т.е.

Теорема 2: В случае если события А и В совместны, то возможность суммы двух совместных событий равна сумме возможностей этих событий без возможности их произведения (совместного наступления обоих событий).

Подтверждение. Пускай событию А помогают к финалов, событию В – l финалов и пускай среди l+k событий содержится q финалов, помогающих совместному осуществлению событий А и В. Тогда, в случае если число всех финалов равняется n, то по определению возможности имеем:

Событию А+В будут помогать k+l-q финалов (т.к. событие А+В пребывает в том, что случилось либо событие А, либо событие В, либо и то и другое).

Исходя из этого: , что и требовалось доказать.

Теорема возможно обобщена на любое конечное число совместных событий.

Для трех совместных событий имеет место формула:

Теорема 3: Возможность произведения двух свободных событий равна произведению возможностей этих событий, т.е.

Подтверждение. Пускай — число равновозможных элементарных событий опробования, из-за которого событие Быть может случиться либо не случиться; — число элементарных событий, помогающих событию ; — число равновозможных элементарных событий опробования, из-за которого может событие В; — число элементарных событий, помогающих событию .

Разумеется, что неспециализированное число элементарных событий опробования, из-за которого может случиться (либо не случиться) событие АВ, равняется . Так как события А и В свободны, то число элементарных событий, помогающих событию АВ, равняется .

Исходя из этого: .

В случае если имеем попарно свободных событий , то

Теорема 4: Возможность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению возможности одного из этих событий на условную возможность другого, вычисленную при условии, что первое событие случилось.

,

— условная возможность события А.

При произвольных событий имеет место формула:

,

где — возможность события , вычисленная при условии, что случились события .

Пример1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15 книжек, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет 3 книжки. Отыскать возможность того, что хотя бы один из забранных книжек окажется в переплете (событие А).

Ответ

Метод 1. Требование – хотя бы один — будет осуществлено, в случае если случится любое из следующих трех несовместимых событий:

В – один учебник в переплете, два без переплета;

С – два книжки в переплете, один без переплета;

D – три книжки в переплете.

Интересующее нас событие А (хотя бы один из забранных трех книжек в переплете) возможно представить в виде суммы этих событий:

.

По теореме сложения ,

где ,

, .

Метод 2. Событие А – «хотя бы один из забранных трех книжек имеет переплет» и А – «ни один из забранных книжек не имеет переплета» — противоположные, исходя из этого (сумма возможностей двух противоположных событий равна единице).

Значит, .

; .

Пример 2. В цехе трудятся 7 женщины и 3 мужчин. По табельным номерам наудачу отобрано 3 человека. Отыскать возможность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

Ответ

Пускай событие А – первым отобран мужчина;

В – вторым отобран мужчина;

С – третьим отобран мужчина.

,

(события А, В, С – зависимые).

Пример 3. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова возможность того, что будет вынута пика либо туз.

Ответ

События А (выбрана пика) и В (показался туз) – совместные, исходя из этого:

Р(пика либо туз)= .

Замысел 2004/2005, поз.

Ермаш Елена Николаевна

Теорема умножения возможностей


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: