Операции сложения и вычитания целых неотрицательных чисел

Определение. Целое неотрицательное число k именуют суммой целых неотрицательных чисел m и p, в случае если существуют непересекающиеся представители чисел m и p, объединение которых есть представителем числа k.

Обозначают m + p, другими словами k = m + p ( Am, Ap)[ Am Ap = Am Ap = Ak].

Теорема.Сумма целых неотрицательных чисел не зависит от выбора их представителей.

Подтверждение. Пускай множества Аm,Ap,Bm,Bp представители произвольных чисел m и p, причем

Am Ap=Bm Bp= . Так как Am~ Bm Ap ~ Bp Am Ap ~ Bm Bp. В случае если Am Ap k Bm Bp k, другими словами сумма m + p, по определению равная k, не зависит от выбора представителей чисел m и p.

Теорема.Сумма целых неотрицательных чисел существует и единственна, другими словами

( m, p N0)( !k N0)[k = m + p].

Подтверждение. Докажем теорему о единственности и существовании суммы. Пускай m, p — произвольные целые неотрицательные числа, Am и Ap — их непересекающиеся представители. Так как множества Am и Ap — конечные, то их объединение Am Ap так же конечное множество из цепочки Am Ap находится в некоем классе k разбиения множества М / ~, причем лишь в нем одном, другими словами Am Ap — представитель числа k по определению суммы целых неотрицательных чисел число k — сумма чисел m и p.

Потому, что класс, в котором находится объединение множеств Am и Ap единственный, то и сумма чисел m и p единственная. Так, для любых произвольных чисел m и p существует единственное число k, являющееся их суммой.

Определение. Сложением целых неотрицательных чисел именуют определенную на множестве N0 двоичную операцию, в которой образом пары чисел m и p есть их сумма — число k. Наряду с этим компоненты пары именуются слагаемыми.

Сложение целое неотрицательное число ассоциативно, другими словами ( m, p, k N0)[(m + p) + k = m + (p + k)].

Пускай m, p, k — произвольные целые неотрицательные числа, Am, Ap, Ak — их попарно непересекающиеся представители, другими словами Am Ap = , Ap Ak= , Am Ak= . Так как для любых m, p, k N0 по определению объединения их непересекающихся представителей имеет место (Am Ap ) Ak = Am (Ap Ak),

то (m + p) + k = m + (p + k).

Либо через количественную чёрта множеств:

(а + в) + с = а + (в + с) а = n (А), в = n (В), с = n (С), то по определению суммы двух чисел имеем:

а + в = n (А В), в + с = n (В С) (а + в) + с = n ((А В) С).

Так как объединение множеств ассоциативно, то (А В) С=А С)

n((А В) С)=n(А С)), то по определению суммы двух чисел имеем: n (А С)) = а + (в + с).

Так, ( а, в, с N0)[(а + в) + с = а + (в + с)].

Разглядим свойства операции сложения на множестве натуральных чисел.

Свойство 1. Существует нейтральный элемент сложения, это число 0, т.е. ()[m +0=m]

Свойство 2.Сложение целых неотрицательных чисел коммутативно: ( m, p N0)[m + p = p + m]

Подтверждение. Пускай m, p — произвольные целые неотрицательные числа, Аm и Аp — их непересекающиеся представители. Так как ( m, p N0)( !k N0)[k = m + p] по теореме о единственности и существовании суммы, то

( Am, Ap)[ Am Ap = Am Ap = Ak] по определению суммы.

Так как объединение множеств коммутативно, то

( Ap, Am)[ Ap Am = Ap Apm = Ak] p + m = k (по определению суммы).

Итак, m + p = k p + m = k по симметричности отношения «равняется»

m + p = k k = p + m по транзитивности отношения «равняется»

m+ p = p + m ( m, p N0)[m + p =p +m].

Из единственности суммы и теоремы существования направляться, что:

(m, p N0´ N0)( ! k N0)[m + p = k], другими словами операция нахождения суммы целых неотрицательных чисел имеется двоичная операция на множестве N0.

Свойство 3. Сложение целых неотрицательных чисел монотонно относительно отношений «равняется», «меньше», «больше».

Монотонность операции сложения относительно отношения «равняется»:

( m, p, k N0)[m = p m + k = p + k].

Монотонность операции сложения относительно отношения «меньше»:

( m, p, k N0)[m

Монотонность сложения относительно отношения «больше»:

( m, p, k N0)[m p m + k p + k].

Свойство 4. Операция сложение целых неотрицательных чисел сократимо относительно отношений «равняется», «меньше», «больше».

Сократимость операции сложения относительно отношения «равняется»:

( m, p, k N0)[ m + k = p + k m =p].

Сократимость операции сложения относительно отношения «m, p, k N0)[m + k p + k m p].

Сократимость операции сложения относительно отношения «больше»: (m, p, k N0) [ m + k p + k m p].

Определение. Целое неотрицательное число k именуют разностью целых неотрицательных чисел m и p, в случае если дополнение некоего представителя числа m есть представителем числа k. Обозначают: m — p.

Из определения разности целых неотрицательных чисел направляться:

k = m — p ( Am, Ap)[Ap Am Am\Ap = Ak]

Теоремао связи между суммой и разностью. Разность чисел m и p равна числу k тогда и лишь тогда, в то время, когда число m равняется сумме чисел p и k.

m — p = k ( Am, Ap)[Ap Am Am\Ap = Ak] (по определению разности)

( Ap, Аk)[Ap Ak = Ap Ak = Am] m = p + k (определение суммы).

Теорема о единственности и существовании разности. Разность целых неотрицательных чисел существует тогда и лишь тогда, в то время, когда m p m = p. В случае если разность существует, то она единственна.

Подтверждение. Докажем теорему о единственности и существовании разности. Пускай m, p — произвольные целые неотрицательные числа. Докажем нужное и достаточное условия существования разности, другими словами докажем, что ( k N0)[k = m — p m p].

Имеем: k = m — p m — p = k m = p + k (по определению отношения «меньше») m p m = p.

Докажем единственность разности способом от противного. Предположим, что разность не единственна, другими словами, что m — p = k m — p = t k t. Имеем: m — p = k m — p = t m = p + k m = p + t p + k = p + t (по сократимости сложения относительно отношения «равняется») k = t (m — p = k m — p = t) Л. Следовательноразность единственна.

Определение. Вычитанием целых неотрицательных чисел именуют частично определенная на множестве N0 двоичная операция, в которой образом пары (m, p), находящейся в отношении «больше» либо«равняется», есть разность m — p. Первый компонент пары именуется уменьшаемым, второй — вычитаемым.

Разглядим свойства операции вычитания.

Свойство 1. Существование нейтрального элемента:

(m N0)[m — 0 = m] — 0 — нейтральный элемент при вычитании.

Свойство 2. Для операции вычитания имеет место «самонейтрализация»

(m N0)[m — m = 0].

Свойство 3. Вычитание монотонно относительно отношений «равняется», «меньше», «больше»:

Подтверждение. Монотонность операции вычитания относительно отношения «равняется»:

( m, p, k N0)[m = p k m m — k = p — k].

Докажем монотонность операции вычитания относительно отношения «равняется». Пускай m, p, k — произвольные целые неотрицательные числа. По условию m=p m=k+t p=k + t p— k=t.

Имеем: m — k = t p — k = t m — k = p — k.

Подтверждение. Монотонность операции вычитания относительно отношения «меньше»:

( m, p, k N0)[m p k m m — k p — k].

Докажем монотонность операции вычитания относительно отношения «меньше».

По условию m p ( t N)[p = m + t]. k m ( s N0)[m = k + s] m — k = s.

Имеем: p = m + t m = k + s p = (k + s) + t = k + (s + t) p — k = s + t s p — k.

Имеем: m — k = s s p — k m — k p — k.

Подтверждение. Монотонность операции вычитания относительно отношения «больше»:

( m, p, k N0)[m p k m m — k p — k].

Докажем монотонность операции вычитания относительно отношения «больше».

По условию: m p p m (по монотонности относительно отношения «меньше») p — k m — k (k p) m — k p — k.

Свойство 4. Операция вычитания сократима относительно отношений «равняется», «меньше», «больше».

Сократимость операции вычитания относительно отношения «равняется»:

Сократимость операции вычитания относительно отношения «меньше»: (m, p, k N0)[ m — k p — k m p].

Сократимость вычитания относительно отношения «больше»: (m, p, k N0)[m — k p — k m p].

Сложение отрицательных чисел. Сложение чисел с различными символами.


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: