Определение. целым неотрицательным числом называют имя класса разбиения совокупности всех конечных множеств отношением эквивалентности.

0 1 2 3 …

Определение. Натуральным числом именуют хорошее от нуля целое неотрицательное число.

Множество натуральных чисел обозначают знаком N, целых неотрицательных чисел знаком N0, другими словами N0={0} N.

Любой класс разбиения характерен тем, что содержит равночисленные множества и определяется любым своим представителем. Следовательно, любое целое неотрицательное число а возможно разглядывать как чёрта мощности каждого множества, находящегося в классе а.

Определение.Целое неотрицательное число а именуют числом элементов множества А, в случае если множество А есть представителем числа а, другими словами n(A)=а А а.

Итак, неотрицательное число 2 — это имя класса равномощных друг другу конечных множеств.

Следовательно, имя — знак «2» — это количественное целое неотрицательное число; значением числа 2 есть класс, в котором находятся все множества, равномощные, к примеру, множеству В = {а, в}. Т.к. множество В в собственности классу равномощных множеств, обозначенному знаком 2 (А 2), то оно есть представителем этого класса, т. е. {а, в} = А2. Значением числа m есть тот класс равномощных конечных множеств, собственным именем которого оно есть.

Суть числа m содержится в том, что число характеризует класс элементов любого конечного множества, принадлежащего классу, именем которого есть.

Определение.Натуральным числовым рядом именуют упорядоченное отношением «меньше» множество всех натуральных чисел.

Определение.Отрезком Nа натурального числового последовательности именуют упорядоченное отношением «меньше» множество натуральных чисел, каждое из которых меньше числа а либо равняется ему.

Определение.Установление взаимнооднозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального числового последовательности, именуют счетом элементов множества А.

Итог счета не зависит от порядка счета. К примеру: совершим счет элементов множества X = {а, в, с, d}.

Пускай f = {(а, 1); (в, 2); (с, 3); (d, 4)}. Т.к. f — биекция множества X на N4, то по определению f — это счет элементов множества X.

I показатель равенства. Число m равно p, тогда и лишь тогда, в то время, когда существует представитель числа m, равномощный некоему представителю числа p: m = p ( Am, Ap)[Am~Ap]

Подтверждение. Пускай m, p — произвольные целые неотрицательные числа Аm, Аp — кое-какие их представители. Докажем, что в случае если m = p Am ~ Ap.

В случае если m = p, то они определяют одинаковый класс разбиения М / ~. Следовательно Аm и Аp находятся в одном классе равномощных множеств и следовательно Am ~ Ap.

Докажем, что в случае если Am ~ Ap m = p. В случае если Am ~ Ap, то каждый элемент класса m — это множество равномощное Аm следовательно равномощное и Аp и исходя из этого находится в одном с ним классе, в частности в классе p. Так как любой элемент класса m есть элементом класса p, то класс m имеется подмножество класса p. Подобно доказывается, что класс p имеется подмножество класса m. Значит класс m равен классу p, т.е. числа m и p определяют одинаковый класс разбиения М / ~, т.е. m = p.

II показатель равенства. Число m равно p тогда и лишь, тогда представители чисел m и p, являющиеся представителями цепочки , равны. m = p Qm = Qp

Теорема. Отношение «равняется» есть эквивалентностью, т.е. владеет особенностями рефлексивности, симметричности, транзитивности).

1. Рефлексивность отношения «равняется», другими словами ( х N0)[х = х].

2. Симметричность отношения «равняется». ( х, у N0)[х = у у = х].

3. Транзитивность отношения «равняется». ( х, у, z N0)[x = y y = z x = z].

Подтверждение. Пускай m, p — произвольные целое неотрицательное число. По условию х=у у=z Qх=Qу Qу=Qz Qх = Qz х = z.

Определение 1.Целое неотрицательное число m меньше целое неотрицательное число p (либо число p больше числа m), в случае если существует представитель числа m, являющийся подмножеством некоего представителя числа p и неравного ему, другими словами m p ( Am, Ap)[Am Ap Am Ap]

Определение 2.Целое неотрицательное число m меньше целого неотрицательного числа p (либо p больше числа m), в случае если Qm подмножество Qp и неравно ему, другими словами m p Qm Qp Qm Qp .

Из определения разумеется, что m p p m.

Теорема.Отношение «меньше» на множестве N0 есть отношением строго линейного порядка. Следовательно, отношение «меньше» есть антирефлексивным, антисимметричным и транзитивным, линейным.

Подтверждение. Докажем антирефлексивность отношения «меньше», другими словами ( х N0)[ ] способом от противного. Пускай ( х N0)[х х]. В случае если х х (по лемме) х х, что противоречит рефлексивности равенства чисел ( х N0)[х х] Л ( х N0)[ ].

Антисимметричность отношения «меньше», другими словами ( х, у N0)[х у ].

Подтверждение. Докажем антисимметричность отношения «меньше» способом от противного. Пускай х (Qх Qу) (Qу Qх) (Qх Qх) (Qх Qу) что противоречит определению отношения «равняется» Qх = Qу Qу, чего быть не имеет возможности следовательно ( х, у N0)[х у ].

Транзитивность отношения «меньше»,другими словами( х, у, z N0)[х у у z x z].

Подтверждение. Докажем транзитивность отношения «меньше». Пускай x, y, z — целое неотрицательное число Qх, Qу , Qz — их представители. По условию х у и у z следовательно по определению отношения «меньше» (Qх Qу) (Qу Qz Qz) следовательно по определению подмножества Qх Qz Qz следовательно по определению отношения «меньше» х z.

Линейность отношения «меньше», другими словами ( х, у N0)[х у х у у х].

3. Классы эквивалентности


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: