Определение степени полиномиального тренда

Цель работы

Анализ временных последовательностей находит широкое использование в разных областях науки и техники. В общем случае временной последовательность довольно часто содержит детерминированную и случайную составляющие. В так называемых моделях неточностей замечаемые временные последовательности интерпретируются как сумма систематических составляющих либо тренда и случайных составляющих либо неточности. Выделение тренда — одна из самые общих задач обработки временных последовательностей.

Целью данной лабораторной работы есть освоение методики выделения тренда с применением полиномов. Будем считать, что подлежащий изучению тренд с течением времени гладко возрастает либо убывает, но не повторяется регулярным образом.

Главные теоретические положения

Анализ временных последовательностей

Временным рядом именуют последовательность наблюдений, упорядоченную во времени [2, 10]. Главной чертой, выделяющей анализ временных последовательностей среди вторых видов статистического анализа, есть существенность порядка, в котором производятся наблюдения. Практически в каждой области видятся явления, каковые весьма интересно и принципиально важно изучать в их изменении и развитии во времени. Таковыми, к примеру, являются метеорологические условия, цены на тот либо другой товар, те либо иные характеристики состояния организма индивидуума и т. п. Все они изменяются во времени. На основании ограниченного количества информации о временном последовательности конечной длины, мы желаем сделать выводы о вероятностном механизме, порождающим данный последовательность, проанализировать его структуру.

В общем случае временной последовательность имеет следующий вид:

yt = f(xt) + et, t = 1,2,…,

где yt — значения временного последовательности;
f(xt) — детерминированная составляющая;
xt — значения детерминированных факторов, воздействующих на детерминированную составляющую в момент времени t;
et — случайная составляющая, для которой М[et]= 0;
Т — протяженность последовательности.
Напомним, что эти компоненты замечаемого последовательности ненаблюдаемы, они являются теоретическими размерами.

В экономике роль детерминированной либо систематической составляющей играется, к примеру, результирующий показатель, воображающий собой количество производства, обусловленный неспециализированной тенденцией роста поизводства, научным прогрессом и затратами экономических ресурсов. На результат не считая экономических факторов смогут оказывать долгосрочное влияние кое-какие природные факторы, поддающиеся предсказанию. Случайная же составляющая аккумулирует влияние множества не включенных в детерминированную составляющую факторов, любой из которых в отдельности оказывает незначительное действие на итог.

Главная задача анализа временных последовательностей пребывает в выделении на базе знания отрезка временного последовательности {yt, t = 1,…,T} детерминированной и случайной составляющих, а также в оценке их черт. Взяв оценки детерминированной и случайной составляющих, возможно решать задачи прогноза будущих значений, как самого временного последовательности, так и его составляющих.

Трендовые модели

Под трендом в узком смысле понимается детерминированная составляющая, зависящая лишь от времени. Тогда временной последовательность представляется следующей теоретико-вероятностной схемой:

уt = f(t) + et, t = 1,2,…T, (1)

где f(t) — тренд;
et — случайные составляющие.

Будем считать, что тренд возможно представлен в виде линейной комбинации

f(t) = a0+ фi(t), (t=1,…,T), (i=1,k), (2)

где фi(t) — узнаваемые функции времени, а случайные составляющие et некоррелированы и имеют нулевые математические ожидания М[et] = 0 и однообразные дисперсии (D[et] = const = ??).

Обозначив фi(t) через хti , представим наблюденный временной последовательность в виде множественной регрессии, линейной относительно параметров:

yt = a0+ + et, (t=1,…,T), (i=1,k), (3)

либо, в матричной форме:

Y = Xka + e,

где

, .

Полиномиальный тренд

Довольно часто знают тренд как долгосрочное изменение, противопоставляя его циклическим трансформациям, маленьким по времени. Таковой тренд возможно достаточно прекрасно представить отрезком последовательности Тейлора; следовательно, во многих практических случаях он бывает приближен полиномом. Полиномиальный тренд имеется прежде всего средство описания. Он содержит в сжатой форме неспециализированные характеристики последовательности. Для приближения тренда полином должен иметь достаточно низкую степень ( 4). Во многих случаях коэффициентам полинома нельзя придать никакого настоящего смысла. Таковой полином является заменой значительно более сложной (но малоизвестной) функции времени и возможно использован для интерполяции.

При полиномиального тренда в выражении (2) в качестве функций фi(t) употребляются степени времени, другими словами фi(t) = ti, (i=1,…,k). Исходная модель временного последовательности имеет форму:

уt = а0 + аiti + et, (t=1,…,T), (i=1,k) (4)

т.е. в матрице Xk элементами столбцов являются значения времени в соответствующей степени:

xti = ti, (t=1,…,T; i=0,…,k), (5)

где k — порядок полинома.

  1. Оценка коэффициентов полиномиального тренда.

Для полинома известного порядка k несмещенная оценка вектора коэффициентов возможно взята способом мельчайших квадратов в виде:

= (XkT * Xk)-1XkTY, M( ) = a. (6)

В общем случае, вместо обобщенной обратной матрицы (XkT * Xk)-1XkT лучше применять матрицу Xk+, псевдообратную к Xk [1], и вычислять оценку вектора коэффициентов тренда по формуле:

= Xk+Y, (7)

где k-порядок полинома.

  1. Оценка значений тренда возможно взята в виде:
= Xk* . (8)
  1. Случайная составляющая либо шум определяется как отличие между значениями исходного временного последовательности и взятыми оценками значений тренда:
E = Y — . (9)

Определение степени полиномиального тренда

Довольно часто исследователь не знает заблаговременно, какой порядок полинома направляться применять для вычисления тренда. Тогда появляется задача выбора подходящей степени полинома среди некоего множества вероятных степеней. Наряду с этим определенные преимущества имеет выбор полинома более низкого порядка. График его более ровный, несложнее допускаемое толкование, более экономична запись функции. Но, в случае если замечаемый временной последовательность не хорошо описывается полиномом низкой степени, приходится применять полином более высокой степени. Недочётом выбора полинома через чур низкой степени есть наличие смещения при оценивании тренда, а недочётом выбора через чур высокой степени-громадная вариабельность при оценивании тренда. Будем применять для приближения тренда полиномами порядка 1,2 и т.д рекуррентную процедуру, определяя момент остановки рекуррентного процесса посредством разных статистических параметров. Метод вычесления псевдообратной матрицы

Псевдообращение

Псевдообратной к матрице А именуется матрица

Удовлетворяющая следующим условиям, именуемым условиями Мура-Пенроуза:

Для вычисления псевдообратной матрицы оптимальнее воспользоваться сингулярным разложением исходной матрицы А, т.е. понятием ее в виде:

Где U и V унитарные матрицы соответственно левых и правых сингулярных векторов, а L- диагональная матрица сингулярных чисел. В этом случае матрица , псевдообратная к А, возможно взята в виде:

Для построения сингулярного разложения А возможно воспользоваться функцией Mathcad’а svd в варианте, снабжающем вычисление и сингулярных векторов и сингулярных чисел.

Но, в некоторых случаях, эргономичнее воспользоваться процедурой рекуррентного вычисления псевдообратной матрицы с применением следующего метода:

Введем следующие обозначения:

A- исходная матрица;

ai- i-тый столбец матрицы ;

Ak- матрица, складывающаяся из первых k столбцов матрицы A;

Ak+- матрица, псевдообратная к Ak;

ai+- i-тая строка матрицы Ak+;

выберем первый столбец матрицы А (a1). Соответствующая ему первая строка псевдообратной матрицы возможно вычислена в виде:

Обозначим столбец a1 матрицей A1, а строчок ai+ матрицей A1+.

После этого рекуррентно, начиная с k=1, выполним:

Расчет прогноза продаж по нескольким трендам


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: