Основные сведения о матрицах. операции над матрицами»

I. ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ.

Существуют разные методы ответа самых разнообразных задач, как математических, так и по профессии. Т.к. математическое моделирование разглядывает и абстрагирует каждые объекты, то, к примеру, задача о производстве мучных изделий из имеющегося сырья (эти находятся в таблице ниже)

Продукт Блинчики Оладьи Вареники Масса имеющегося сырья
Мука 0,416 кг 0,481 кг 0,695 кг 5 кг
Яйца 0,83 кг 0,23 кг 0,53 кг 0,5 кг
Соль 0,008 кг 0,009 кг 0, 012 кг 0,1 кг

возможно решена посредством совокупности трех уравнений с тремя переменными:

Решить такую совокупность школьными способами достаточно трудоемко, а вдруг окажется совокупность с громадным числом входящих и уравнений в них переменных, то и нереально.

Но, существуют другие способы ответа таких совокупностей, и в этих способах огромную, решающую роль играются коэффициенты при переменных и свободные участников уравнений совокупности.

Для этого делают следующую запись:

Такую запись (она имеет форму таблицы) именуют матрицей – матрица разрешает выяснить решение и другие понятия многих совокупностей разными способами

раздел и Понятие матрицы математики, ее изучающий, имеют очень серьёзное значение для экономистов – большая часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно несложной и компактной матричной форме.

Матрицы активно применяются в планировании транспортных перевозок и производства. Они разрешают разрабатывать разные варианты замысла, облегчают изучения зависимости между различными экономическими показателями.

Матрицей размера именуется прямоугольная таблица чисел, содержащая столбцов и строк. Числа, составляющие матрицу, именуются элементами матрицы.

Разглядим еще один пример перехода от таблицы к матрице, благодаря которому разберемся в сути записи матрицы, ее обозначении, нахождении ее размера.

Приобретаем следующую запись:

,

где имеется прочерки, каковые в математике заменяет ноль.

Матрицы обозначаются большими прописными буквами латинского алфавита , а размер записывается под обозначением матрицы, причем, в соответствии с определения матрицы, на первом месте записывается количество строчков, а на втором – количество столбцов.

Так, приобретаем:

= .

Для обозначения элементов матрицы в общем виде употребляются строчные латинские буквы с двойной индексацией:

, где — номер строчка, — номер столбца.

Пример записи матрицы в общем виде:

,
либо в сокращенной форме: , где

Разглядим еще примеры матриц и таблиц:

I.Таблица распределения ресурсов по отделениям отраслям экономки (усл. ед.)

Ресурсы Отрасли экономики
промышленность сельское хозяйство
электричество 5,4 4,2
трудовые ресурсы 2,7 2,1
водные ресурсы 4,8 5,1

возможно записана в компактной форме в виде матрицы распределения ресурсов по отраслям:

В данной записи матричный элемент показывает, сколько электричества потребляет промышленность, а элемент — какое количество трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство.

II.Малое предприятие производит 4 вида продукции A, B, C, D, применяя на каждую из них различное количество двух работы и материалов (количества рабочего времени). Конкретная информация указана в таблице.

Изделия A B C D
Единица материала X
Единица материала Y
Количество рабочего времени

В данной ситуации имеется 12 настоящих чисел, каковые возможно упорядочить и записать в виде матрицы:

каждый столбец и Каждый ряд данной матрицы имеет определенный суть. К примеру, элементы 2го последовательности показывают количество материала Y, затраченного на производство продукции A, B, C, D, а элементы 2го столбца матрицы показывают количество затраченных материалов X, Y и рабочего времени на производство продукции B.

II. Виды матриц

1.Две матрицы и одного размера именуются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. для любых .

2. 3. Матрица, складывающаяся из одной строки, именуется матрицей– строчком, а из одного столбца – матрицей -столбцом:

— матрица-строчок; = .
— матрица-столбец, .

4,5,6. Матрица именуется квадратной -го порядка, в случае если число ее строчков равно столбцов и равняется .
Пример:

— квадратная матрица 3го порядка

Элементы матрицы , у которых номер столбца равен номеру строчка , именуются диагональными и образуют основную диагональ матрицы.

Для квадратной матрицы основную диагональ образуют элементы .

o В случае если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрицы именуется диагональной.

Пример:

— диагональная матрица 4-го порядка

o В случае если у диагональной матрицы -го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица именуется единичной матрицей -го порядка и обозначается .

Пример:

— единичная матрица третьего порядка.

7.Матрица любого размера именуется нулевой, либо нуль-матрицей, в случае если все ее элементы равны нулю.

III. Операции над матрицами

1). Транспонирование матрицы —

— переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами. Матрица именуется транспонированной по отношению к матрице .

, .

Пример:

= ;

2). Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число именуется матрица , любой элемент которой для .

Т.е., дабы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число любой элемент матрицы.

Пример:

, тогда

Следствие. Неспециализированный множитель всех элементов матрицы возможно выносить за символ матрицы.

Пример: Вынести за символ матрицы неспециализированный множитель.

= .

Произведение матрицы на число имеется нулевая матрица: .

3) Сложение матриц.

Суммой двух матрицА и В однообразного размера называетсяматрицаС=А+В, каждыйэлементкоторой

Т.е., дабы сложить две матрицы однообразного размера, нужно сложить их соответствующие элементы.

Пример:

4) Умножение матриц.

Умножение матрицы на матрицу выяснено, в то время, когда число столбцов матрицы равняется число строчков матриц , т.е. они согласованы.

Произведением матриц именуется такая матрица , любой элемент которой равен сумме произведений элементов строчка матрицы на соответствующие элементы столбца матрицы .

Пример:

5) Возведение в степень.

Целой хорошей степенью квадратной матрицы именуется произведение матриц, равных , т.е.

По определению полагают, .

Пример:

1. Что такое матрицы? — bezbotvy


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: