Основные типы целочисленных аттракторов для динамических систем с размерностью больше двух

Хороший пример динамической совокупности — несложной маятник. Его перемещение задаётся всего двумя переменными: скоростью и положением. Так, его состояние — это точка на плоскости, координаты которой — его скорость и положение маятника.

Эволюция состояния описывается правилом, которое выводится из законов Ньютона и выражается математически в виде дифференциального уравнения. В то время, когда маятник качается взад-вперёд, его состояние — точка на плоскости — движется по некоей траектории («орбите»). В совершенном случае маятника без трения орбита представляет собой петлю; при наличии трения орбита закручивается по спирали к некоей точке, соответствующей остановке маятника.

Рисунок 1.

Фазовое пространство даёт эргономичное средство для наглядного представления поведения динамической совокупности. Это абстрактное пространство, координатами в котором являются степени свободы совокупности. К примеру, перемещение маятника (вверху) всецело выяснено его положением и начальной скоростью.

Так, его состоянию отвечает точка на плоскости, координатами которой являются скорость и положение маятника (внизу). В то время, когда маятник качается, эта точка обрисовывает некую траекторию, либо «орбиту», в фазовом пространстве. Для совершенного маятника без трения орбита представляет собой замкнутую кривую (внизу слева), в другом случае орбита сходится по спирали к точке (внизу справа).

Динамическая совокупность может развиваться или в постоянном времени, или в дискретном времени. Первая именуется потоком, вторая — отображением (время от времени каскадом). Маятник непрерывно движется от одного положения к второму и, следовательно, описывается динамической совокупностью с постоянным временем, т.е. потоком. Число насекомых, рождающихся ежегодно в определённом ареале, либо временной отрезок между каплями из подтекающего водопроводного крана естественней обрисовывать совокупностью с дискретным временем, т.е. отображением.

Дабы выяснить, как начинается совокупность из заданного начального состояния, необходимо совершить бесконечно малое продвижение по орбите, а для этого возможно воспользоваться динамикой (уравнениями перемещения). При таком способе количество вычислительной работы пропорционален времени, за который мы желаем двигаться по орбите. Для несложных совокупностей типа маятника без трения может оказаться, что уравнения перемещения допускают ответ в замкнутой форме, т.е. существует формула, высказывающая любое будущее состояние через начальное состояние. Такое ответ даёт «путь напрямик», т.е. более несложный метод, в котором для предсказания будущего употребляется лишь окончательное время и начальное состояние и что не требует прохода через все промежуточные состояния. При таких условиях объём работы, затрачиваемой на прослеживание перемещения совокупности, практически не зависит от конечного значения времени. Так, в случае если заданы уравнения перемещения Луны и планет, и положения и Луны и скорости Земли, то возможно, к примеру, на много лет вперёд угадать затмения.

Благодаря успешному нахождению ответов в замкнутой форме для многих разнообразных несложных совокупностей на ранних стадиях развития физики показалась надежда, что для всякой механической совокупности существует такое ответ. Сейчас как мы знаем, что это, по большому счету говоря, не так. Непредсказуемое поведение хаотических динамических совокупностей нельзя описать ответом в замкнутой форме. Значит, при установлении их поведения у нас нет никакого «пути напрямик».

Фазовое пространство даёт замечательное средство для изучения хаотических совокупностей, поскольку оно разрешает представить их поведение в геометрической форме. Так, в отечественном примере маятника с трением, что в итоге останавливается, его траектория в фазовом пространстве приходит в некую точку. Это неподвижная точка; так как она притягивает близлежащие орбиты, её именуют притягивающей неподвижной точкой, либо аттрактором (от англ. to attract — притягивать. — Перев.). В случае если сказать маятнику маленькой толчок, его орбита возвратится в неподвижную точку. Всякой совокупности, которая с течением времени приходит в состояние спокойствия, отвечает неподвижная точка в фазовом пространстве. Это явление имеет очень характер: утраты энергии из-за трения либо, к примеру, вязкости приводят к тому, что орбиты притягиваются к маленькому множеству фазового пространства, имеющему меньшую размерность.

жизнь — и Сборник Звезды во Вселенной


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: