Понятие об основных системах счисления

Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами. Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционными называются такие системы счисления, в которых каждый символ сохраняет своё значение независимо от места его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой символам I, V, X, L, С, D, М соответствуют числа 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Недостатком этой системы является сложность формальных правил записи чисел и выполнения арифметических действий над ними.

Система счисления называется позиционной, если значение каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Это значение находится в однозначной зависимости от позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая в повседневной жизни.

Количество различных цифр, употребляемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления. Так, в десятичной системе используются десять цифр (от 0 до 9), основанием этой системы является число десять.

В позиционных системах счисления числа записываются в виде последовательности символов:

N = an an-1 … a1 a0 , a-1 a-2 … а-m (р),(3.1)

где N – число;

ai – цифры (символы) числа;

p – основание системы счисления;

n, m – порядковый номер разряда для целой и дробной частей числа соответственно.

Здесь и в дальнейшем основание системы счисления, в которой представлено число, будем указывать в виде нижнего индекса в скобках.

В этой последовательности запятая отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях). Значение числа, записанного в виде (3.1), может быть найдено по следующей формуле:

N = an?pn+an-1?pn-1+ … +a0?p0+a-1?p-1+a-2?p-2+ …+а-m?p-m. (3.2)

В системе счисления с основанием р используется р цифр – символы от 0 по (р-1). Число, равное основанию, запишется 10(р).

В десятичной системе счисления мы производим вычисления по формуле (3.2), практически не задумываясь. Возьмём для примера десятичное число 123,45:

122130,4-15-2 (10) = 1?102+2?101+3?100+4?10-1+5?10-2 = 100+20+3+0,4+0,05.

Помимо десятичной, могут применяться и другие позиционные системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.

Так, в двоичной системе счисления используются две цифры: 0 и 1. Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным кодом.

Рандомно подобранные статьи с сайта:

Системы счисления, определение и основные понятия


Похожие статьи:

admin