Правило исследования функции на выпуклость (вогнутость) и определения точек перегиба

Изучение функции посредством производной

Справочный материал

Монотонность функции

Определение. Функция y = f(x) возрастает (убывает) на промежутке Х, в случае если х1, х2IХ: х2х1 ? f(х2)f(х1) (f(х2)

Теорема 1. (нужное условие монотонности). В случае если дифференцируемая на (a;b) функция y = f(x) возрастает (убывает),

то f ¢(x)?0 (f ¢(x)?0), xI(a;b).

Теорема 2. (достаточное условие монотонности). В случае если y = f(x) дифференцируема на (a;b) и xI(a;b): f ¢(x)0 (f ¢(x)

Экстремумы функции

Определение. Точка х0 именуется точкой локального max (min) функции y=f(x), в случае если ? Оd(х0): f(х0)f(х) (f(х0)

Точки локального max (min) – это точки локального экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумы функции.

Теорема 3. (необх. условие экстремума). В случае если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке х0 экстремум, то f ¢(х0)=0.

Замечания:

1. Существуют функции, каковые в точке экстремума не имеют производной (не дифференцируемы), к примеру, y=|x| в точке х0=0.

2. Обратная теорема неверна, к примеру, для y=x3 в точке х0=0.

Т.о. постоянная функция может иметь экстремум в точках, где f ¢(х)=0 либо ? f ¢(х), т.е. в критических точках 1 рода.

Теорема 4. (первое достаточное условие экстремума). В случае если постоянная функция y=f(x) дифференцируема в некоей окрестности точки х0 и при переходе через нее f ¢ меняет символ с «+» на «-» (с «-» на «+»), то х0 – точка max (min).

Теорема 5. (второй достаточный показатель экстремума). В случае если функция y=f(x) два раза дифференцируема в некоей окрестности точки х0 и выполняются условия, то

1. — точка max 2. — точка min.

Замечание. В случае если f ¢¢(х0)=0 (?f ¢¢(х0)), то второй показатель неприменим. Кроме этого показатель неудобен при громоздкой форме f ¢¢(х).

Правило изучения y=f(x) на экстремумы и монотонность

1. Отыскать Df .

2. Вычислить f ¢(х) и отыскать критические точки 1 рода (f ¢(х)=0 либо ? f ¢(х)).

3. Выяснить символ f ¢(х) в промежутках, на каковые критические точки дробят Df (выяснить промежутки знакопостоянства функции

y=f ¢(х)).

4. Отыскать убывания функции и интервалы возрастания, точки экстремума. Вычислить экстремумы функции.

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Определение.График функции именуется выпуклым (вогнутыми) на промежутке (a;b), если он расположен ниже (выше) любой ее касательной на этом промежутке.

Определение.Точки графика постоянной функции, отделяющие его части вогнутости и выпуклости, именуются точками перегиба.

Теорема 6.В случае если функция y=f(x) два раза дифференцируема на (a;b) и f ¢¢(х)0), xI(a;b), то график функции y=f(x) на (a;b) есть выпуклым (вогнутым).

Теорема 7. (достаточное условие существования точки перегиба). В случае если f ¢¢(х) при переходе через точку x0 (в которой f ¢¢(x0)=0 либо ? f ¢¢(x0)) меняет символ, то x0 – точка перегиба.

Правило изучения функции на выпуклость (вогнутость) и определения точек перегиба

1. Отыскать Df .

2. Вычислить f ¢¢(х) и отыскать критические точки 2 рода (f ¢¢(х)=0 либо ? f ¢¢(х)).

3. Выяснить символ f ¢¢(х) в промежутках, на каковые критические точки дробят Df.

4. Отыскать отыскать вогнутости и интервалы выпуклости, точки перегиба.

4. Асимптота графика функции y=f(x)–это прямая, расстояние до которой от точки М, лежащей на графике, пытается к нулю при удалении точки М от начала координат по кривой.

вертикальная асимптота x=a, в случае если f(x)=±?

наклонная асимптота

y=kx+b, в случае если k=

b=

горизонтальная асимптота

y=b – частный случай

наклонной асимптоты при k=0

Изучение функции. Точки перегиба от bezbotvy


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: