Предел последовательности. арифметические действия над пределами. предел монотонной последовательности

Лекция 1. ее предел и Последовательность. Теоремы о пределах. Предел монотонной последовательности. Числовые последовательности, их расходимость и сходимость. Действия со сходящимися последовательностями. Показатель Коши сходимости последовательностей. Нужный показатель сходимости последовательности. Знакоположительные последовательности. Показатели сравнения, Даламбера и Коши

На прошлых лекциях детально изучались функции постоянного довода, их свойства и пределы пределов. В теории последовательностей фундаментальную роль играются последовательности (т.е. функции дискретного довода) и их пределы. Перейдем к изучению соответствующего теоретического материала.

Предел последовательности. Арифметические действия над пределами. Предел монотонной последовательности

Последовательностью именуется функция натурального довода. Наряду с этим именуется неспециализированным участником, а множество областью определения последовательности

К примеру, последовательность, называе-

мая арифметической прогрессией ( постоянные, не зависяшие от ). Второй пример: Тут областью определения есть множество

Определение 1.Число именуется пределом последовательности при в случае если [1] Наряду с этим пишут и в случае если данный предел существует и конечен, то говорят, что последовательность сходится; в другом случае она именуется расходящейся последовательностью.

Перечислим фундаментальные особенности предела последовательности.

1. В случае если предел существует, то он единственный.

2. В случае если в последовательности отбросить любое конечное число участников либо заменить их на каждые другие числа, то новая и старая последовательность будут в один момент расходиться либо сходиться (к одному и тому же пределу ).

Из этого свойства вытекает, что, не умоляя общности, можно считать, что последовательность выяснена при всех

3. В случае если предел существует и конечен, то последовательность ограничена, т.е.

4. В случае если пределы существуют и конечны, то сущес-

твуют и пределы

В случае если наряду с этим то существует и предел частного

5(критерий Коши сходимости). Чтобы существовал конечный предел нужно и достаточно, дабы

6. При любом фиксированном последовательности и в один момент сходятся либо в один момент расходятся, причем при сходимости они имеют одинаковый предел

7.В случае если последовательность не убывает (т.е. в случае если )и ограничена сверху (т.е. ), то она имеет конечный предел Подобное утверждение правильно и для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности

Определение 2.Последовательность именуется вечно малой, в случае если Наряду с этим пишут Две бесконечно малые последовательности и именуются эквивалентными, в случае если . Наряду с этим пишут

8. Чтобы существовал (конечный) предел необходи-

мо и достаточно, дабы имело место представление

9. В случае если то

При вычислении пределов последовательности довольно часто употребляется следующая таблица эквивалентных бесконечно малых.

Таблица 1.

В случае если при то при верны следующие соотношения:

.

10)

К примеру, при вычислении предела заменяем ,

Будем иметь

2.Числовые последовательности, их расходимость и сходимость. Действия со сходящимися последовательностями. Показатель Коши сходимости. Нужное условие сходимости последовательности. Показатели сходимости для знакоположительных последовательностей

Мы переходим к изучению нескончаемых сумм, именуемых последовательностями. Дадим их правильное определение и придадим им здравый математический суть.

Определение 3. Формальная сумма нескончаемого числа слагаемых (чисел), именуется числовым рядом. Наряду с этим конечная сумма именуется й частичной суммой этого последовательности, его неспециализированным участником, а сумма м остатком этого последовательности.

Определение 4. Говорят, что последовательность сходится к сумме в случае если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. Наряду с этим пишут В случае если указанный предел или не существует, или равен бесконечности, то говорят, что последовательность расходится.

На языке “ ” это определение записывается так:

Последовательность сходится к сумме

Ответственный пример.Разглядим последовательность

(геометрическая прогрессия).

Тут: знаменатель, первый член прогрессии. Вычислим частичную сумму

Из этого видно, что в случае если то В случае если либо то В случае если же то Эта последовательность не имеет предела при В соответствии с определению 4 приобретаем, что при прогрессия (1) сходится к сумме а при она расходится.

Используя свойство 2, сформулированное выше, к последовательности частичных сумм последовательности , приходим к выводу, что на сходимость (расходимость) этого последовательности не воздействует его любое конечное число участников; их возможно отбросить либо заменить на другие числа. Снова полученный последовательность будет вести себя в смысле сходимости расходимости равно как и исходный последовательность.

Из свойства 4, примененного к частичным суммам сходящихся последовательностей

вытекает следующее утверждение.

Теорема 1.В случае если последовательности (2) и (3)сходятся к суммам и соответственно, то при любых значениях постоянных и сходится и последовательность причем

Эта теорема говорит о том, что сходящиеся последовательности подчиняются тем же арифметическим законам, что и конечные суммы. Используя свойство 5 к последовательности частичных сумм последовательности (2), возьмём следующий критерий Коши сходимости для последовательностей:

10. Чтобы последовательность (2) сходился, нужно и достаточно, дабы

Применим данный критерий для доказательства нужного показателя сходимости последовательности.

Теорема 2.В случае если последовательность сходится, то его неспециализированный член пытается к нулю, т.е.

Подтверждение.Так как указанный последовательность сходится, то для его частичных сумм честен показатель Коши10, что при переходит в высказывание

Это высказывание свидетельствует, что а, следовательно Теорема доказана.

Замечание 1. Утверждение, обратное к теореме 1, по большому счету говоря, не правильно. К примеру, ниже будет продемонстрировано, что так называемый гармонический последовательность расходится. Но его неспециализированный член при Полезность нужного показателя содержится в том, что в случае если неспециализированный член при то последовательность заведомо расходится. К примеру, последовательности расходятся, поскольку их неспециализированные члены не стремятся к нулю при

Применяя критерий Коши сходимости 10, нетрудно доказать кроме этого следующее утверждение.

11. В случае если остаток при каком-нибудь сходится, то и сходится сам последовательность Обратно: в случае если сходится последовательность то при любом сходится и любой его остаток причем

Кстати, из данной теоремы кроме этого вытекает, что на сходимость (расходимость) последовательности не воздействует любое конечное число его участников. Ниже будет употребляться следующее очевидное утверждение.

11. Какова бы ни была постоянная последовательности сходятся либо расходятся в один момент.

Предел последовательности #1


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: