Предельный признак сравнения

Пускай и – знакоположительные последовательности. В случае если существует конечный и не равный нулю предел , то оба последовательности и

в один момент сходятся либо в один момент расходятся.

В качестве последовательности, применяемого для сравнения с данным, довольно часто выбирают последовательность вида . Таковой последовательность именуется рядом Дирихле. В примерах 3 и 4 было продемонстрировано, что последовательность Дирихле с и расходится. Возможно до тех пор пока-

зать, что последовательность .

В случае если , то последовательность именуется гармоническим. Гармонический последовательность расходится.

Пример 5. Изучить на сходимость последовательность посредством предельного показателя сравнения, в случае если

а) ; б) ; в) ;

Ответ. а) Так как при больших ~ , а

~ , то ~ . Выберем для

сравнения с данным гармонический последовательность , т.е. .

( см. [5] ).

Потому, что предел конечен и отличен от нуля и гармонический последовательность расходится, то расходится и этот последовательность.

б) При больших ~ , ~ , исходя из этого – неспециализированный член последовательности, с которым будем сравнивать этот:

( см. [5] ).

Последовательность сходится (последовательность Дирихле с ), исходя из этого этот последовательность кроме этого сходится.

в) , исходя из этого бесконечно малую возможно

заменить на эквивалентную ей при величину ( ~ при – см. [5] ).

Тогда – неспециализированный член последовательности для сравнения.

.

Так как предел конечен и не равен нулю, а последовательность расходится (последовательность Дирихле с ), то этот последовательность расходится.

Существуют показатели сходимости последовательностей, разрешающие конкретно делать выводы о сходимости либо расходимости данного последовательности, не сравнивая его с рядом, поведение которого известно.

Показатель Даламбера

Пускай – знакоположительный последовательность. В случае если существует , то при последовательность сходится, а при последовательность расходится.

В случае если , то показатель Даламбера не дает возможности делать выводы о поведении последовательности. В этом случае нужно дополнительное изучение, к примеру, посредством показателей сравнения.

В примерах 5 а), б) посредством предельного показателя сравнения было обнаружено, что последовательность расходится, а последовательность сходится. Посмотрим, как трудится применительно к этим последовательностям показатель Даламбера:

, ;

(см. [5]).

Так, в каждом из этих случаев показатель Даламбера не ведет к определенному ответу: при последовательность возможно и сходящимся, и расходящимся.

Пример 6. Изучить на сходимость последовательность посредством показателя

Даламбера, в случае если

а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .

Ответ. а) Так как , то

Это указывает, что последовательность расходится.

б) Знак (читается “эн факториал”) – сокращенное обозначение произведения всех натуральных чисел от единицы до данного натурального числа n:

. К примеру, , ,

,

,

,

.

Так как , то для любого

и исходя из этого последовательность сходится. Из этого можно сделать очень ответственный вывод: так как при любом последовательность сходится, то по нужному показателю сходимости .

в) Так как , то

(см. [5]), т. е. последовательность сходится.

г) Чтобы записать , заменим в на . Тогда к

произведению добавится еще один сомножитель, равный

, а к произведению – еще два сомножителя:

, исходя из этого

.

Значит, этот последовательность сходится.

д) Увидим, что при , исходя из этого при вычислении предела возможно воспользоваться принципом замены эквивалентных бесконечно малых (см. [5]), заменив на эквивалентную бесконечно малую величину :

.

Следовательно, последовательность сходится.

Анализ рассмотренных примеров разрешает сделать следующий вывод: показатель Даламбера обязательно дает ответ на вопрос о сходимости последовательностей, неспециализированный член которых содержит факториал либо показательную функцию .

Видеоурок \


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: