Предсказуемые аттракторы

Всякое такое множество именуется аттрактором. Грубо говоря, аттрактор отвечает установившемуся поведению совокупности — тому, к которому она пытается.

Рисунок 2.

Аттракторы— это геометрические структуры, характеризующие поведение в фазовом пространстве по прошествии долгого времени. Грубо говоря, аттрактор — это то, к чему совокупность пытается прийти, к чему она притягивается. Тут аттракторы продемонстрированы синим цветом, а начальные состояния — красным. Траектории, выйдя из начальных состояний, в итоге приближаются к аттракторам. Самый несложный тип аттрактора — неподвижная точка (вверху слева). Таковой аттрактор соответствует поведению маятника при наличии трения; маятник постоянно приходит в одно да и то же положение спокойствия независимо от того, как он начал колебаться (см. правую половину рис. 2).

Следующий, более сложный аттрактор — предельный цикл (вверху в центре), что имеет форму замкнутой петли в фазовом пространстве. Предельный цикл обрисовывает устойчивые колебания, такие, как перемещение маятника в часах либо биение сердца. Сложному колебанию, либо квазипериодическому перемещению, соответствует аттрактор в форме тора (вверху справа).

Все три аттрактора предсказуемы: их поведение возможно прогнозировать с любой точностью. Хаотические аттракторы соответствуют непредсказуемому перемещению и имеют более сложную геометрическую форму. Три примера хаотических аттракторов изображены в нижнем последовательности; они взяты (слева направо) Э. Лоренцем, О. Рёсслером и одним из авторов (Шоу) соответственно путём решения несложных совокупностей дифференциальных уравнений с трёхмерным фазовым пространством.

Хаотический аттрактор

Рисунок 4.

Хаотический аттрактор имеет значительно более сложное строение, чем предсказуемые аттракторы — точка, предельный цикл либо тор. В большом масштабе хаотический аттрактор имеется неровная поверхность со складками. Продемонстрированы этапы образования хаотического аттрактора на примере аттрактора Рёсслера (справа). Сперва родные траектории на объекте расходятся экспоненциально (вверху слева); расстояние между соседними траекториями возрастает приблизительно в два раза. Дабы остаться в конечной области, объект складывается (внизу слева): поверхность сгибается и её края соединяются. Аттрактор Рёсслера наблюдался во многих совокупностях, от потоков жидкости до химических реакций; данный факт иллюстрирует максиму Эйнштейна о том, что природа предпочитает простые структуры.
Кое-какие совокупности не останавливаются по прошествии долгого времени, а циклически проходят некую последовательность состояний. Пример — часы с маятником, каковые заводятся при помощи пружины либо гирь. Маятник опять и опять повторяет собственный путь.

В фазовом пространстве его перемещению соответствует периодическая траектория, либо цикл. Не имеет значение, как маятник запущен в перемещение — в итоге он придёт к тому же циклу. Такие аттракторы именуются предельными циклами. Второй привычной всем совокупностью с предельным циклом есть сердце. Одинаковая совокупность может иметь пара аттракторов. В случае если это так, то различные начальные условия смогут привести к различным аттракторам. Множество точек, приводящих к некоему аттрактору, именуется его областью притяжения. Совокупность с маятником имеет две такие области: при маленьком смещении маятника от точки спокойствия он возвращается в эту точку, но при громадном отклонении часы начинают тикать, и маятник совершает стабильные колебания.

Более сложный аттрактор имеет форму тора (напоминающую поверхность бублика). Такая форма отвечает перемещению, составленному из двух свободных колебаний, — так именуемому квазипериодическому перемещению. (Физические примеры возможно выстроить при помощи электрических осцилляторов.) Траектория навивается на тор в фазовом пространстве, одна частота определяется временем оборота по малому кругу тора, вторая — по громадному кругу. Для комбинации более чем двух вращений аттракторами смогут быть многомерные торы.

Выводы

До недавнего времени были известны только перечисленные виды аттракторов: неподвижные точки, предельные точки, торы и предельные циклы. В первой половине 60-ых годов двадцатого века Э. Лоренц из Массачусетского технологического университета открыл конкретную совокупность низкой размерности со сложным поведением. Движимый жаждой осознать, в чём проблема с прогнозами погоды, он разглядел уравнения перемещения жидкости (они обрисовывают и атмосферные течения) и путём упрощений взял совокупность ровно с тремя степенями свободы.

Однако эта совокупность вела себя случайным образом и не поддавалась адекватному описанию посредством какого-нибудь из известных аттракторов. Найденный Лоренцем аттрактор, именуемый сейчас его именем, стал первым примером хаотического, либо необычного, аттрактора.

Промоделировав собственную несложную совокупность на компьютере, Лоренц распознал главной механизм, что приводил к случайному поведению: микроскопические возмущения накапливаются и воздействуют на макроскопическое поведение. Две траектории с родными начальными условиями экспоненциально расходятся в ходе эволюции, так что они проходят рядом только совсем недолго. При нехаотических аттракторов качественная картина совсем вторая. Для них родные траектории так и остаются родными, маленькие неточности остаются ограниченными, и поведение предсказуемо.

Перечень литературы

1.Бурда А. Г. Математическое моделирование в управлении плодоводческими фирмами / А. Г. Бурда, С. Н. Косников. Учеб.-способ. пособие. – Краснодар, 2012. – 101 с.

2. Бурда А.Г., Бурда Г.П., Гусельникова А.А. Математическая экономика. Учебное пособие для институтов. Краснодар, КГАУ, 2009 г., 2010 г.

3. Бурда Г.П., Бурда Ал.Г., Бурда Ан.Г. Моделирование экономики. Учебное посо-бие для институтов. В 2 частях. Часть I. оптимизации и Основы моделирования экономи-ки. Часть II. Способы рынка и моделирования производства — Краснодар: КГАУ, 2005.

4. Введение в математическое моделирование: Учеб. пособие / Под ред. П. В. Тру- сова. — М.: Логос, 2005. — 440 с.

5. Власов, М.П. Моделирование экономических процессов: учеб. пособие / М.П. Вла- сов, П.Д. Шимко – Ростов н/Д: Феникс, 2005. – 410 с.

6. Издание «Математическое моделирование» (основан в 1989 г.).

7. Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. принятия оптимизации решений и Методы управления: примеры, задачи, кейсы: учебное пособие. – М.: Издательство Дело АНХ, 2008

8. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. — 496 с. 2-е изд. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XXI).

9. Красс М.С., Чупрынов Б.П. модели и Математические методы для магистрантов экономики: Питер, 2010 – 496 с.

10. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые способы хаотической динамики М. Физматлит. 2004. — 320 с.

11. модели исследования и Математические методы операций / под ред. Колемаева. — Изд-тво: Юнити-Дана, 2007 г. 592 с.

12. общества и Математические модели природы. Монография. Калиткин Н.Н. и др.М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 360 с.

13. Параметризация, оптимизация и моделирование конкурентоспособного АПК: монография /А. И. Трубилин, А. Г. Бурда, Г. П. Бурда, И. М. Благивский, С. Н. Косников, В. В. Кочетов, Е. А. Метельская, С. И. Турлий, О. Ю. Франциско // под управлением и редакцией академика РАСХН, профессора экономики , доктора наук И. Т. Трубилина. – Краснодар: КубГАУ, 2012. – 630 с.

14. Плохотников К.Э. искусство и Метод математического моделирования: курс лекций. – М.: Флинта. – 2012. — 519 с.

другие источники:

http://www.ifilosofia.ru/;

http://bsu-philosophy.wikia.com/;

http://scicenter.online/

http://studopedia.su/

http://radaevslava.livejournal.com/

Хаос 7. Необычные аттракторы. Эффект Бабочки


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: