Радикальный признак коши

Пускай – знакоположительный последовательность. В случае если существует ,

то при последовательность сходится, а при последовательность расходится.

В случае если последовательность может как сходиться, так и расходиться. Узнать это возможно посредством дополнительного изучения, к примеру, применяя показатели сравнения.

При применении радикального показателя Коши не редкость полезно знать, что

. (3)

Пример 7.Изучить на сходимость последовательность посредством радикального показателя Коши

а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .

Ответ. а) Так как и ,

(см. равенство (3) ), то и исходя из этого последовательность сходится.

б) В этом случае . Так как

(см. [5]), а , то

Это указывает, что этот последовательность сходится.

в) В этом случае комфортно применить показатель Коши, т. к. , а предел этого выражения находится легко:

.

Значит, последовательность сходится.

г) Увидим, что при , а .

Помимо этого, т. к. , то , исходя из этого

и исходя из этого последовательность расходится.

д) Так как и

(см. [5] ), то .

Следовательно, последовательность расходится.

Показатель Даламбера и радикальный показатель Коши основаны, по существу, лишь на особенностях геометрической прогрессии. Исходя из этого при изучении медлительно сходящихся либо медлительно расходящихся последовательностей (прогрессии в их число не входят) эти показатели оказываются нечувствительными . В таких случаях, не считая показателей сравнения, возможно применять интегральный показатель Коши. Данный показатель четко проводит различия между сходящимися и расходящимися последовательностями, даже в том случае, если члены одного из них только незначительно отличаются от участников другого.

Интегральный показатель Коши

Пускай члены знакоположительного последовательности не возрастают:

. Пускай, помимо этого, – постоянная,

невозрастающая функция, определенная для всех , такая, что

. Тогда последовательность и несобст-

венный интеграл сходятся либо расходятся в один момент.

Пример 8.Изучить на сходимость последовательность посредством интегрального показателя Коши, в случае если

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ. а) – последовательность Дирихле с . Ранее было отмечено, что данный последовательность расходится. Докажем это. Разглядим функцию . Она не-

прерывна и убывает при всех . Помимо этого, , исходя из этого удовлетворяет условиям теоремы.

Вычислим .

Несобственный интеграл расходится, значит, расходится и этот последовательность.

б) – последовательность Дирихле с . Как было отмечено, данный последовательность сходится.

Дабы убедиться в этом, применим интегральный показатель Коши: ,

; .

Несобственный интеграл сходится, исходя из этого сходится и этот последовательность.

в) Разглядим при функцию . Ее производная

при всех . Следовательно, убывает

и .

.

Несобственный интеграл сходится, а потому сходится и этот последовательность.

г) Функция постоянна и убывает при всех . Несобственный интеграл

,

т. е. расходится, значит, последовательность также расходится.

Знакочередующиеся последовательности

Определение. Последовательности, члены которых имеют различные символы, именуются знакопеременными. В случае если члены последовательности поочередно имеют то хороший, то отрицательный символы, то последовательность именуется знакочередующимся.

Знакочередующиеся последовательности – частный случай последовательностей знакопеременных.

В случае если , то – знакочередующийся последовательность. К примеру, последовательности

и

знакопеременные, а последовательности ,

,

и – знакочередующиеся.

Для знакочередующихся последовательностей имеет место следующий достаточный показатель сходимости.

Показатель Лейбница

Пускай члены знакочередующегося последовательности удовлетворяют условиям:

1) ;

2) .

Тогда последовательность сходится, и его сумма .

Пример 9. Изучить на сходимость последовательность , в случае если

а) ; б) .

Ответ. а) Последовательность – знакочередующийся, . Удостоверимся в надежности условия показателя Лейбница:

1) ;

2) (см. [5] ).

Делаем вывод, что последовательность сходится.

б) Последовательность – кроме этого знакочередующийся.

Он сходится, т. к. удовлетворяет условиям показателя Лейбница:

и 1) ; 2) ,

по причине того, что знаменатель данной дроби при растет значительно стремительнее числителя.

Для знакопеременных последовательностей имеет место следующий показатель сходимости.

Показатель Коши-1. Числовые последовательности-24


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: