Решение интегральных уравнений вольтера.

(1).Ур-е вольтера – частный случай ур-я направляться. Продемонстрируем, что ур-е Вольтера разрешимо при любых знач-х . K(t,s), f(t) – непрер., . . Разумеется, что нормы эквив-ны. Обозначим пр-во непрер. ф-ций с нормой . Рассм. Возможно продемонстрировать, что . Удостоверимся в надежности усл-е сжатия: Потому, что нер-во вып-ся вседа, то ур-е Вольтера неизменно разрешимл и его м. решать способом посл. приближений.

8. ГП. Пр. Н-во К-Б-Ш. Непрер-ть скал. произвед-я. Т.Пифагора. Ортогональность.

Пускай Н-ЛП. Н н-ся предгильбертовым либо пр-вом со скал-м произвед-м, в случае если выяснено число (x,y) именуемое скал-м произв-м так, что выполнены теоремы: 1. 2. 3. 4. . Замечание.Из (2) = что

Скалярное произвед-е порождает норму по ф-ле

Первые теоремы очевидны, нер-во треуг-ка направляться из Нер-ва Шварца: Д-во: Пускай и , , Нер-во Шварца. Удостоверимся в надежности нер-во треуг-ка:

Предгильбертово пр-во полное, относительно нормы, порожденной скал. произвед-м н-ся гильбертовым.

Утверждение.Скал-е произвед-е имеется непрер-я ф-ция собственных доводов. Д-во: ЧТД,

Примеры Гильбертовых пр-в.

1. Нер-во Шварца запис. в виде: — Нер-во Коши-Буняковского

2. .Сх-ть последовательности направляться из оценки.

3. . Опред-е корректно в силу нер-ва Шварца, К-Б.

Ортогональность.

Пускай Н-ГП. х н-ся ортогональноy в случае если . Нескончаемая совокупность н-ся лин. свободной, в случае если линейно-свободна каждая её конечная система. Нескончаемая сист. н-ся ортогональной, в случае если и ортонормированной, в случае если

Утверждение.Ортогональная совокупность линейно свободна. Д-во: умножим скалярно на ЧТД,

Теорема Пифагора.В случае если , то . Д-во: ЧТД.

Обобщенная теорема Пифагора.В случае если — ортогональн. совокупность, то Д-во: самостоятельно.

Р-во параллелограмма. Д-во: самост-но ЧТД.

Замечание.Пускай — пр-во измеримых суммируемых с квадратом с весом ф-ций, т.е. . Введем скал-е произвед-е: , вещ-е.

В случае если использовать независ. совокупности процесс ортогонализации Шмита, то м. взять многие узнаваемые ортонормированные совокупности.

Теорема (процесс ортогонализации Шмитта).По люб. незав. совокупности м. выстроить ортогональную совокупность и ортонормир-ю совокупность посредством ф-л: (без д-ва)

Расстояние от точки до мн-ва.

В случае если то н-ся элементом наилучшего приближения элемента х элементами мн-ва M. В НП таковой эл-т м.б. неединственным. В ГП эт-т наил. приближ-я опред-ся конкретно.

9. Расст-е от т. до мн-ва. Т. о расстоянии. Проекция. Разложение ГП в прямую сумму.

Лемма.М – замкн. мн-во. В случае если , то . В случае если , то Д-во: Пускай ПП .По опр-ю инфинума . Устремим . Возьмём, что х – пред-я точка М, а т.к. М – замкнуто, то — это несоответствие.

Теорема.Пускай М – замкнутое выпуклое мн-во в ГП Н и т. . Тогда . Д-во: Обозначим . По опр-ю инфинума (1).Продемонстрируем, что посл-ть фундам-на. Запишем р-во параллелограмма со сторонами и : Такое N сущ-т = — фундаментальна. Значит, т.к. ГП – полное, то т.к. М – замкнуто. Продемонстрируем, что данный эл-т единственный. ПП Запишем р-во параллелограмма со стор. : Таковой эл-т единственный. ЧТД.

Замечание.В случае если мн-во М – незамкнутое, то таковой эл-т может не существовать. В случае если М – невыпукло, то таковой эл-т м.б. неединств.

Пускай -ГП и . Ортогональной проекцией х на Lн-ся элемент — таковой, что

Расстояние от точки до подпр-ва.Пускай , т.к. подпр-во L – замкн. выпуклое мн-во, то

Теорема.Пускай — проекция ортогональная х на подпр-во L. Д-во: Продемонстрируем, что . И это будет означать, что . Пускай . Тогда возв-м в квадрат . . . Мы удостоверимся в надежности, что . ЧТД,

Утверждение.Пускай L натанут Тогда (2).Д-во: . Т.к. , то Значит

ЧТД.

Уравнения Фредгольма — 1


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: