Ряд фурье для периодических функций.

Лекция 35. Тригонометрический последовательность. Разложение функций в тригонометрический последовательность Фурье (2ч)

Содержание лекции: Тригонометрический последовательность Фурье. Разложение функции в тригонометрический последовательность. Теорема Дирихле. Последовательность Фурье для четных, нечетных функций, последовательность Фурье для непериодических функций. Примеры.

Подтверждение особенностей тригонометрической совокупности.

Главные определения

Среди разных аналитических аппаратов, служащих орудиями изучения функций, первое место по собственной простоте, гибкости, прозрачности, удобству потребления занимают функциональные последовательности. Мысль этого аппарата несложна: исследуемая функция предел последовательности более несложных и дешёвых изучению функций – частичных сумм изображающего функцию последовательности. В случае если такая частичная сумма на разглядываемом промежутке достаточно близка к изучаемой функции (последовательность сходится к данной функции), то возможно рассчитывать, что свойства данной суммы достаточно совершенно верно обрисовывают свойства изучаемой функции.

Какие конкретно же функции эргономичнее и удачнее применять в качестве элементов разложения? На данный вопрос нельзя дать единого универсального ответа, тут все зависит от природы изучаемой функции и характера тех задач, каковые мы по отношению к ней ставим.

Но существует пара наиболее значимых типов функциональных последовательностей, каковые зарекомендовали себя в этом замысле наилучшим образом. К ним относятся, первым делом, степенные последовательности ( , члены – неотрицательные степени свободной переменной) и тригонометрические последовательности, изучением которых мы и займемся.

Определение 1.1.

Последовательность вида

(1)

именуется тригонометрическим рядом, числа — коэффициенты этого последовательности, а отдельные слагаемые именуются членамиряда либо его гармониками.

В случае если степенной последовательность выстроен по совокупности несложных, прекрасно изученных степенных функций 1, х, х2, х3, … , хn, … , то тригонометрический последовательность выстроен посредством совокупности также не меньше прекрасно изученных тригонометрических функций:

1, sin x, cos x, sin2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x, … , sin nx, cos nx, …

– эта совокупность функций именуется тригонометрической совокупностью функций. Все функции совокупности имеют неспециализированный период и владеют следующими особенностями:

1) интеграл по отрезку (и любому второму отрезку длины 2?) от произведения любых двух функций данной совокупности равен нулю:

;

;

;

, ;

, ;

2) интеграл по отрезку от квадратов функций данной совокупности не равен нулю:

;

, ;

, .

Подтверждение этих особенностей рекомендуем совершить самостоятельно.

Особенностей 1 совокупности {1; cos nx, sin nx}, n I N – именуется свойством ортогональности, оно лежит в базе всей теории тригонометрических последовательностей.

Так, тригонометрический последовательность – это последовательность, выстроенный по ортогональной тригонометрической совокупности функций.

Так как тригонометрический последовательность – это функциональный последовательность, то возможно сказать о его области сходимости и сумме.

Если он сходится, то его сумма имеется периодическая функция с периодом 2p. Появляются естественные вопросы (как и при последовательности Тейлора):

1) Какие конкретно функции возможно разлагать в тригонометрический последовательность, и на каких множествах?

2) Как разлагать (как отыскать коэффициенты)?

3) Единственно ли разложение?

Честна

Теорема 1.1. (нужное условие разложимости в тригонометрический последовательность).

В случае если функция f(x), интегрируемая на отрезке , разлагается на этом отрезке в почленно интегрируемый тригонометрический последовательность, другими словами

f(x) = , (2)

то это разложение единственно и коэффициенты последовательности вычисляются по формулам:

n = 1, 2, …(3)

Подтверждение. Пускай интегрируемая функция f(x) представима на отрезке [–p ;p] тригонометрическим рядом:

. (2)

Проинтегрируем обе части этого равенства по x I [-p, p]

.

В силу только что доказанных особенностей совокупности {1, cos nx, sin nx}, интегралы, стоящие под знаком суммы, равны нулю.

Тогда .

Умножив обе части равенства (2) на cos nx и снова проинтегрировав, возьмём

.

Снова же по особенностям ортогональной совокупности, справа лишь одно слагаемое при k = n превосходно от 0 , следовательно

? .

Подобно, умножая (2) на sin nx и интегрируя, приобретаем:

.

Откуда .

Так, в случае если -периодическая функция f(x) разлагается в тригонометрический последовательность (2), то его коэффициенты смогут быть отысканы по формулам

, , .

Причем, потому, что интегралы вычисляются конкретно, то последовательность с этими коэффициентами – единственный. Что и требовалось доказать.

Определение 1. 3.

Коэффициенты тригонометрического последовательности, вычисленные по формулам (3) именуются коэффициентами Фурье, а тригонометрический последовательность с этими коэффициентами именуется рядом Фурьефункции f(x) .

Из Теоремы 1.1 направляться: в случае если f(x) разлагается в тригонометрический последовательность, то это нужно имеется последовательность Фурье данной функции.

Замечание:

Мы разглядывали интегралы по отрезку [-p, p], но в случае если f(x) — -периодическая функция, то

а.

То же касается и функций f(x)cos nx, f(x)sin nx. Значит, формулы (3) смогут быть распространены на любой отрезок длины 2p :

n = 0, 1, 2, …(3¢)

Последовательность Фурье для периодических функций.

Теорема 1.1 ответила на последние два поставленных нами вопроса: как разложить и единственно ли разложение?

Осталось узнать вопрос, какие конкретно функции возможно разлагать, и при каких условиях формально выстроенный для функции последовательность Фурье сходится как раз к данной функции?

Ответ на данный вопрос дает Теорема Дирихле – достаточное условие разложимости в тригонометрический последовательность.

Теорема 1.2. (Дирихле)

Пускай f(x) – -периодическая функция и на отрезке [-p, p] удовлетворяет условиям:

1) f(x) ограничена и постоянная (кусочно-постоянная),

2) f(x) кусочно-монотонная.

Тогда последовательность Фурье данной функции сходится на всей числовой прямой, причем сумма последовательности равна f(x) в точках непрерывности функции и равна в точках х0 разрыва функции.

Условия 1) – 2) Теоремы именуются условиями Дирихле. Эти условия, разумеется, менее твёрдые, нежели требование $-я производных всех порядков, каковые разрешают разлагать функцию в ряд Тейлора. Значит, разложению в ряд Фурье возможно подвергнут более широкий класс функций.

Помимо этого, члены последовательности Фурье – периодические, волнообразные функции, а в разных областях людской знания (физике, механике, биологии, экономике) процессы довольно часто носят периодический характер. Исходя из этого описание этих процессов посредством последовательности Фурье, непременно, предпочтительнее.

Но не любая периодическая функция имеет период . Выясняется, возможно распространить рассмотренную теорию на функции с произвольным периодом. Если функция f(x) – 2l-периодическая функция, то последовательность Фурье имеет форму

(4)

с коэффициентами:

, n = 0, 1, 2, …(5)

Наряду с этим теорема Дирихле формулируется так:

Теорема (Дирихле):

В случае если 2l-периодическая функция на [-l, l] удовлетворяет условиям Дирихле, то ее последовательность Фурье (4) сходится на всей числовой прямой, и его сумма равна f(x) в точке непрерывности функции, а в точке х0 разрыва функции сумма последовательности равна .

Из Теоремы Дирихле направляться, что чтобы разложить периодическую с периодом Т=2l функцию в тригонометрический последовательность (последовательность Фурье), необходимо:

1) проверить монотонность, ограниченность, непрерывность (кусочную непрерывность) функции на заданном отрезке;

2) вычислить коэффициенты Фурье по формулам (5);

3) выстроить с этими коэффициентами последовательность(4);

4) указать область сходимости последовательности к функции.

Для ускорения процесса вычисления коэффициентов разложения советую применять таблицы интегралов (к примеру, Двайта), в частности, такие формулы

, ,

и учесть, что cos pn = (–1)п , sin pn = 0 nIN.

Пример:

Разглядим -периодическую функцию, заданную на [-p, p) условиями:

График данной функции:

Условия Дирихле, разумеется, выполняются, значит, последовательность Фурье сходится к х ¹ p(2n+1) .

Отыщем коэффициенты разложения:

.

Тогда справедливо разложение

х ¹ p(2n+1), n I Z;

при х = p(2n+1) имеем сумму последовательности S(x)= , что, разумеется, не сходится со значением функции в этих точках.

Замечание.

В силу свойства интегралов от периодичных функций

2l-периодическая функция возможно задана не только на отрезке [-l; l], а на втором отрезке [a, b] длины 2l. Более того, при необходимости от отрезка [-l; l] возможно перейти к второму отрезку такой же длины, к примеру, к отрезку [0; 2l], в формулах коэффициентов наряду с этим необходимо только поменять пределы интегрирования. При таком переходе лишь необходимо пристально смотреть за описанием (аналитическим заданием) функции.

К примеру: , f(x) = f(x+2)

Разумеется

Процедуру разложения функции в изучение свойств и тригонометрический ряд этого последовательности называютгармоническим анализом.

Разложите функцию в ряд Фурье. Студент. Видео урок


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: