Сходимость степенных рядов

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Матанализ»

для направления 080100 «Экономика»

Рязань 2012

Тема 9. Числовые и степенные последовательности

Числовой последовательность, его сходимость.

Несложные особенности сходящихся числовых последовательностей

Пускай – нескончаемая числовая последовательность. Выстроим из данной последовательности новую последовательность по правилу

, , , …, , …

Определение 1. Числовым рядом именуют упорядоченную пару числовых последовательностей . Числа , , … , … именуют участниками последовательности. Правило построения числа именуют неспециализированным участником последовательности. Число именуют -ой частичной суммой последовательности.

Замечание. Числовой последовательность обозначают знаком .

Определение 2.Числовой последовательность именуют сходящимся,в случае если существует конечный предел последовательности его частичных сумм.

Определение 3. Числовой последовательность именуют расходящимся,в случае если предел последовательности его частичных сумм либо не существует либо равен .

Определение 4.В случае если числовой последовательность сходится, то предел последовательности его частичных сумм именуют суммой последовательности .

Замечание.В случае если числовой последовательность расходится, а предел его частичных сумм равен ( ), то говорят, что сумма последовательности равна ( )

Свойства сходящихся числовых последовательностей

1. Отбрасывание конечного числа первых участников числового последовательности не воздействует на сходимость (расходимость) последовательности.

2. В случае если числовой последовательность сходится и имеет сумму , то сходится кроме этого и последовательность , где – постоянное число, причем сумма последовательности равна .

3. В случае если числовые последовательности и сходятся, и суммы их соответственно равны и , то последовательность также сходится и имеет сумму .

Замечание.Теория числовых последовательностей решает две задачи: 1) узнать, сходится последовательность либо нет; 2) в случае если последовательность сходится, вычислить его сумму.

Показатели сходимости числовых последовательностей

Теорема 1 (нужное условие сходимости). В случае если числовой последовательность сходится, то .

Замечание. На практике теорему применяют следующим образом: вычисляют . В случае если , то последовательность расходится. В случае если , то вопрос о сходимости последовательности остается открытым.

Определение 5.Числовой последовательность, все члены которого хороши (неотрицательны) именуют хорошим (неотрицательным) числовым рядом.

Теорема 2 (Первый показатель сравнения).Пускай даны два неотрицательных числовых последовательности и , причем для любого номера . Тогда, в случае если последовательность сходится, то сходится последовательность . В случае если последовательность расходится, то последовательность кроме этого расходится.

Теорема 3 (Второй показатель сравнения).Пускай даны два неотрицательных числовых последовательности и , и пускай . Тогда оба последовательности сходятся либо расходятся в один момент.

Замечание 1. В случае если в условиях теоремы 3 , то в случае если последовательность сходится, то сходится последовательность ; в случае если последовательность расходится, то последовательность кроме этого расходится.

Замечание 2.В случае если в условиях теоремы 3 , то в случае если последовательность сходится, то сходится последовательность ; в случае если последовательность расходится, то последовательность кроме этого расходится.

Замечание 3. Исследуемый числовой последовательность в большинстве случаев сравнивают с неотрицательным числовым рядом, сходимость (расходимость) которого установлена раздельно. Такие последовательности будем именовать базисными.

Базисные последовательности

1. Последовательность именуют гармоническим. Он есть расходящимся.

2. Последовательность именуют обобщенным гармоническим. Он есть расходящимся при и сходится при .

3. Последовательность именуют геометрической прогрессией. Он есть расходящимся при и сходится при (его сумма ).

Пример 1. Отыскать сумму последовательности , пользуясь определением.

Ответ. Разглядим неспециализированный член последовательности: . Разложим его на сумму несложных дробей: . Отыщем коэффициенты и способом неизвестных коэффициентов. Имеем . Приравнивая коэффициенты при однообразных степенях , приобретаем , . Из этого , и .

Выпишем -ю частичную сумму последовательности:

.

Отыщем сумму последовательности: .

Пример 2.Отыскать сумму последовательности , пользуясь определением.

Ответ. Разглядим неспециализированный член последовательности: . Выпишем -ю частичную сумму последовательности: при четном ( , ) ; при нечетном ( , ) . Тогда не существует. Следовательно, исследуемый последовательность расходится.

Пример 3. Изучить последовательность на сходимость.

Ответ. Удостоверимся в надежности нужное условие сходимости. Так как , следовательно, нужное условие сходимости не выполняется, последовательность расходится.

Пример 4. Изучить последовательность на сходимость.

Ответ. Удостоверимся в надежности нужное условие сходимости. Так как , нужное условие сходимости выполняется.

Сравним исходный последовательность с гармоническим рядом . По второй теореме сравнения приобретаем . Так как гармонический последовательность расходится, то и исследуемый последовательность расходится.

Пример 5.Изучить последовательность на сходимость.

Ответ. Удостоверимся в надежности нужное условие сходимости. Так как , нужное условие сходимости выполняется.

Сравним исходный последовательность с обобщенным гармоническим рядом ( ). По второй теореме сравнения приобретаем . Так как обобщенный гармонический последовательность при сходится, то и исследуемый последовательность сходится.

Теорема 4 (показатель Коши). Пускай для хорошего числового последовательности существует . В случае если , то последовательность сходится. В случае если , то последовательность расходится. В случае если , то вопрос о сходимости последовательности остается открытым.

Теорема 5 (показатель Даламбера). Пускай для хорошего числового последовательности существует . В случае если , то последовательность сходится. В случае если , то последовательность расходится. В случае если , то вопрос о сходимости последовательности остается открытым.

Пример 6.Изучить последовательность на сходимость.

Ответ.Удостоверимся в надежности нужное условие сходимости. Так как (см. тему 8, значения базисных пределов), нужное условие сходимости выполняется. Воспользуемся показателем Даламбера:

,

следовательно, последовательность сходится.

Теорема 6 (интегральный показатель Коши).В случае если для неотрицательного числового последовательности существует неотрицательная, нестрого убывающая функция , определенная на промежутке , такая, что для каждого номера , то ряд и несобственный интеграл сходятся либо расходятся в один момент.

Пример 7. Изучить последовательность на сходимость.

Ответ. Удостоверимся в надежности нужное условие сходимости. Так как , то нужное условие сходимости выполняется. Воспользуемся интегральным показателем Коши. Тогда функция выяснена на промежутке и удовлетворяет всем условиям теоремы 6. Вычислим несобственный интеграл:

.

Несобственный интеграл сходится, следовательно, последовательность также сходится.

Знакочередующиеся последовательности

Определение 6. Числовой последовательность, имеющий нескончаемое число как хороших, так и отрицательных участников, именуют знакопеременным.

Определение 7. Числовые последовательности вида и ( ) именуют знакочередующимися.

Определение 8. Знакочередующийся последовательность именуют рядом типа Лейбница, в случае если есть монотонно убывающей функцией номера и ( ).

Теорема 7. Любой последовательность типа Лейбница сходится.

Определение 9. Знакопеременный последовательность именуют полностью сходящимся, в случае если последовательность, составленный из безотносительных размеров его участников , сходится.

Определение 10.Знакопеременный последовательность именуют условно сходящимся, если он сходится, а последовательность , составленный из полных размеров его участников, расходится.

Теорема 8. В случае если знакопеременный последовательность сходится полностью, то он сходится.

Пример 7.Изучить последовательность на полную и условную сходимость.

Ответ.Исследуем последовательность на полную сходимость. Соответствующий последовательность есть гармоническим, следовательно, расходится. Значит, последовательность полностью расходится.

Исследуемый последовательность есть знакочередующимся, , , с повышением номера значения монотонно убывают ( ). Следовательно, последовательность есть рядом типа Лейбница, по теореме 7 он сходится. Так, последовательность условно сходится.

Сходимость степенных последовательностей

Пускай – нескончаемая последовательность функций, определенных на некоем числовом множестве . Выстроим из данной последовательности новую последовательность по правилу:

, , …, , …

Определение 1. Функциональным рядом именуют упорядоченную пару последовательностей . Обозначение: .

Определение 2. Степенным рядом именуют функциональный последовательность вида . Вещественные числа ( ) именуют коэффициентами степенного последовательности. Вещественное число именуют центромстепенного последовательности.

Определение 3.Степенной последовательность вида именуют рядом Маклорена.

Замечание 1. В случае если сделать замену переменной , то от степенного последовательности неизменно возможно перейти к последовательности Маклорена вида . Исходя из этого потом разглядываем степенные последовательности вида .

Замечание 2. Область определения любого степенного последовательности – множество всех настоящих чисел .

Замечание 3.Любой степенной последовательность вида сходится при . Одна из задач теории степенных последовательностей: узнать, при каких еще значениях степенной последовательность сходится, и при каких значениях степенной последовательность сходится полностью.

Теорема 1. В случае если степенной последовательность сходится при некоем ( ), то он сходится при любом значении , удовлетворяющем условию . В случае если степенной последовательность расходится при некоем ( ), то он расходится при любом значении , удовлетворяющем условию .

Теорема 2.Для всякого степенного последовательности существует число (вероятно и нескончаемое) такое, что

1) в случае если , то последовательность сходится лишь при ;

2) в случае если , то последовательность сходится при любом ;

3) в случае если , то при всех , удовлетворяющих условию , последовательность сходится, а при всех , , удовлетворяющих условию , последовательность расходится.

Определение 4. Число такое, что при последовательность сходится, а при – расходится, именуют радиусом сходимости степенного последовательности.

Определение 5. Промежуток именуют промежутком сходимости степенного последовательности.

Замечание. Из теоремы 2 направляться, что при всех степенной последовательность сходится полностью, при всех – расходится. При вопрос о сходимости обязан рассматриваться конкретно для каждого последовательности.

Определение 6. Множество точек числовой прямой, получающееся добавлением промежутку сходимости точек и , именуют промежутком сходимости либо областью сходимости степенного последовательности.

Теорема 3. Пускай для степенного последовательности существует предел . Тогда: 1) в случае если , то ; 2) в случае если , то ; 3) в случае если , то .

Теорема 4. Пускай для степенного последовательности существует предел . Тогда: 1) в случае если , то ; 2) в случае если , то ; 3) в случае если , то .

Пример 1.Отыскать промежуток сходимости степенного последовательности .

Ответ. Отыщем радиус сходимости. Так как , то по теореме 4 имеем

.

Из этого , другими словами последовательность полностью сходится на всей числовой прямой.

Пример 2.Отыскать промежуток сходимости степенного последовательности .

Ответ. 1) Отыщем радиус сходимости. Так как , то по теореме 3 имеем . Из этого .

2) Промежуток сходимости: последовательность полностью сходится в промежутке .

3) Исследуем последовательность на сходимость в точках и .

При последовательность принимает вид . Это числовой знакочередующийся последовательность, он расходится (см. тему 15, пример 2).

При последовательность принимает вид . Это числовой хороший последовательность. Удостоверимся в надежности нужное условие сходимости: , следовательно, последовательность расходится.

Так, промежутком сходимости есть промежуток .

Пример 3.Отыскать промежуток сходимости степенного последовательности .

Ответ. 1) Отыщем радиус сходимости. Обозначим и разглядим вспомогательный последовательность . Так как у запасного последовательности , то по теореме 3 имеем: . Из этого .

2) Отыщем промежуток сходимости последовательности . Так как , то по теореме 2 имеем , либо , либо . Последовательность полностью сходится в промежутке .

3) Исследуем последовательность на сходимость в точках и .

При последовательность принимает вид . Последовательность есть числовым знакочередующимся. Исследуем его на полную сходимость. Соответствующий последовательность из полных участников: . Удостоверимся в надежности нужное условие сходимости: , следовательно, нужное условие сходимости выполняется. Сравним последовательность с гармоническим рядом . В силу второй теоремы сравнения приобретаем , следовательно, последовательность расходится, а последовательность расходится полностью. Но так как , и с повышением номера убывает, то последовательность есть рядом типа Лейбница. Следовательно, он сходится. Точку возможно включить в промежуток сходимости.

При последовательность принимает вид . Это числовой хороший последовательность. Нужное условие сходимости для этого последовательности выполняется ( ). Но, сравнивая данный последовательность с гармоническим рядом , в силу второй теоремы сравнения приобретаем , следовательно, последовательность расходится. Точка не входит в промежуток сходимости.

Так, промежутком сходимости есть полуинтервал .

Теорема 5.В случае если радиус сходимости степенного последовательности не равен нулю, то сумма этого степенного последовательности есть постоянной функцией на любом отрезке .

Видеоурок по математике \


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: