Системы линейных уравнений

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…..………………………………….………………………….…
1. Матричная алгебра…… ……………………………………………………
1.1. Матрицы……………………….…………..………………………………
1.2. Действия над матрицами……….………….………………………………
1.3. Определители…….………………………..………………………………
1.4. Свойства определителей…………………….……………………………
1.5. Обратная матрица…………………………..……………………………..
2. Совокупности линейных уравнений………….…………………………….….
2.1. Ответ совокупностей линейных уравнений……..………………………….….
2.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики…….……………….…
Задания для контрольной работы…….……………………………….….
оформления и Правила выполнения контрольных работ……………….
Библиографический перечень…………………………..……………….…..

ВВЕДЕНИЕ

Современная концепция высшего экономического образования достаточно полно реализует специфику изучения математических дисциплин. Цикл математических дисциплин для бакалавриата в соответствии с Госстандарту высшего профобразования складывается из последовательности взаимосвязанных разделов с иллюстрацией их применения в экономике. К ним относится линейная ее приложения и алгебра в задачах оптимизации.

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная алгебра – имеют очень серьёзное значение для экономистов, поскольку большая часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в достаточно простой, а основное компактной форме. Один из наиболее значимых разделов линейной алгебры – совокупности линейных уравнений – являются одним из главных инструментов математического моделирования экономических процессов.

Математика есть не только замечательным средством для ответа прикладных задач и универсальным языком науки, но и элементом неспециализированной культуры. Вследствие этого математическое образование направляться разглядывать как наиболее значимую составляющую в совокупности фундаментальной подготовки современного экономиста.

МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА

Матрицы

Прямоугольная таблица чисел, содержащая столбцов и строк, именуется матрицей :

,

где – настоящие числа , именуемые элементами матрицы, и – соответственно индексы столбца и строки.

Две матрицы именуются равными, в случае если числа их столбцов и строк равны и в случае если равны элементы, расположенные на соответствующих местах этих матриц. Матрица именуется нулевой, в случае если все ее элементы равны нулю.

В случае если число столбцов матрицы равно ее строчков, то матрицу именуют квадратной матрицей порядка . Элементы квадратной матрицы порядка образуют ее основную диагональ. Квадратная матрица именуется диагональной, в случае если все ее элементы, расположенные вне основной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица именуется единичной, в случае если все ее элементы, расположенные на основной диагонали, равны единицы. К примеру,

соответственно квадратная, диагональная и единичная матрицы третьего порядка.

Действия над матрицами

Над матрицами, как и над числами, возможно создавать последовательность операций, причем кое-какие из них подобные операциям над числами, а кое-какие – своеобразные.

Дабы умножить матрицу на число, нужно любой элемент матрицы умножить на это число. К примеру,

.

Суммой одинаковых размерностей и матриц именуется матрица, элементы которой равны сумме элементов матриц А и В, расположенных на соответствующих местах. К примеру,

.

Пример 1. В некоей отрасли 4 завода производят 3 вида продукции. Матрица задает количества продукции на каждом заводе в течение последних трех месяцев, матрица – во втором; – количества продукции -го типа на -ом заводе в первом и втором кварталах соответственно: .

Отыскать: а) количества продукции; б) прирост количеств производства во втором квартале если сравнивать с первым по заводам и видам продукции.

Ответ. а) Количества продукции за полугодие определяются суммой матриц А и В, т.е. , где – количества продукции -го типа, произведенный за полугодие -ым заводом.

б) Прирост во втором квартале если сравнивать с первым определяется разностью матриц .

Отрицательные элементы матрицы говорят о том, что на данном заводе количество продукта -и производства уменьшился; хорошие – увеличился; нулевые – не изменился.

Умножение матрицы на матрицу выяснено, в то время, когда число первой равно строчков второй. Наряду с этим произведением матрицы А порядка на матрицу В порядка именуется матрица порядка , элементы которой вычисляются как сумма произведений элементов -ой строки матрицы и -го столбца матрицы :

.

Пример 2. Вычислить произведение матриц А и В, где

.

Ответ. По определению находим элементы матрицы как произведение соответствующих столбца и строки матриц и .

Пример 3.Предприятие создаёт 3 типа продукции, количества выпуска заданы матрицей . Цена реализации единицы -го типа продукции в -ом регионе задана матрицей . Число регионов, в которых реализуется продукция равняется 4. Отыскать матрицу выручки по регионам, в случае если

.

Ответ. Выручка определяется матрицей , причем – это выручка предприятия в -ом регионе:

.

Пример 4.Предприятие создаёт 3 типа продукции, применяя 4 вида ресурсов. вида затрат и -Нормы ресурса на производство единицы продукции -го типа заданы матрицей затрат . Значения цены каждого вида ресурса в расчете на единицу заданы матрицей . Пускай за определенный временной отрезок предприятие выпустило количество продукции каждого типа , заданное матрицей .

Выяснить – матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за этот период времени и полную цена всех затраченных ресурсов, в случае если

.

Ответ. Матрица полных затрат ресурсов определяется как произведение матриц и , т.е. .

В соответствии с условию задачи

,

т.е. за этот период времени будет израсходовано 930 ед. ресурса первого вида, 960 ед. ресурса второго вида, 450 ед. ресурса третьего вида и 630 ед. ресурса четвертого вида.

Цена всех затраченных ресурсов определяется как произведение матриц и , либо .

В этом случае

Переход от матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, именуется транспонированием матрицы . Матрица именуется транспонированной относительно матрицы . К примеру,

.

Определители

Определителем матрицы второго порядка именуется число

.

Определителем матрицы третьего порядка именуется число

.

Символы, с которыми слагаемые входят в данную формулу, легко запомнить, пользуясь правилом треугольника. Определитель квадратной матрицы обозначается либо det .

Пример 5. Вычислить определитель матрицы .

Ответ. .

Введем понятие определителя произвольного порядка . Для этого пригодятся следующие определения.

Минором элемента определителя -го порядка именуется определитель -го порядка, что получается вычеркиванием в данном определителе столбца и строки, содержащих элемент . Алгебраическим дополнением элемента именуется его минор, умноженный на :

.

В случае если к примеру, ,

то , .

Как мы знаем, что любой определитель равен сумме произведений любой его строки либо столбца на их алгебраические дополнения, другими словами

= ,

= .

Эти равенства именуются соответственно разложениями определителя матрицы по элементам -ой строки и -го столбца. Эти формулы используются для вычисления определителей матриц.

Пример 6. Вычислить определитель матрицы .

Ответ. Разложим этот определитель по элементам его третьего столбца.

=

.

Свойства определителей

Вычисление определителя посредством разложения по строчку либо столбцу – достаточно трудоемкое дело. Применяя свойства определителя, возможно существенно упростить его вычисление.

1) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется, другими словами .

2) Неспециализированный множитель всех элементов строчка либо столбца определителя возможно вынести за символ определителя. К примеру,

.

3) В случае если элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель возможно разложен на сумму двух соответствующих определителей. К примеру,

.

4) Определитель, содержащий две однообразные строчки либо столбца, равен нулю.

5) Определитель не изменится, в случае если к элементам одной из его строчков (столбцов) прибавить соответствующие элементы второй строки (столбца), умноженные на одно да и то же число. К примеру,

.

6) Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: .

В случае если в определителе порядка имеется столбец (строка), все элементы которого, не считая одного, равны нулю, то, разложив определитель по этому столбцу (строчке) мы сведем его к вычислению определителя порядка . В случае если же столбца (строчка) нет, то, применяя свойство 5) определителей, возможно, не меняя значения данного определителя, преобразовать его так, дабы в выбранном столбце (строчке) все элементы, не считая одного, обратились в нуль.

Пример 7. Вычислить определитель матрицы .

Ответ. Преобразуем матрицу так, дабы все элементы третьей строки, не считая одного, обратились в нуль. Для этого домножим третий столбец на -4 и добавим к первому, а после этого домножим третий столбец на 2 и добавим ко второму.

.

Обнулим в взятом определителе третьего порядка все элементы второй строки, не считая одного. Для этого домножим третий столбец нового определителя на -13 и 4 и добавим соответственно к первому и второму столбцам.

.

Обратная матрица

Матрица именуется обратной для квадратной матрицы , в случае если .

Квадратная матрица имеет обратную тогда и лишь тогда, в то время, когда ее определитель не равен нулю. Такие матрицы именуются невырожденными. Невырожденная матрица имеет единственную обратную

,

где – алгебраическое дополнение элемента матрицы .

Пример 8. Отыскать матрицу, обратную к матрице .

Ответ. Вычислим определитель матрицы :

. Значит матрица невырожденная и имеет обратную. Находим

.

Для проверки правильности вычислений полезно убедиться, что для отысканной матрицы правильно равенство .

СОВОКУПНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Способ Крамера за 3 60 секунд. Ответ совокупности линейных уравнений — bezbotvy


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: