Стационарные временные ряды и их характеристики. автокорреляционная функция.

Временные последовательности. Модели стационарных и нестационарных временных последовательностей, их идентификация.

1.Неспециализированные сведения о задачах и временных рядах их анализа.

Под временным рядом (динамическим рядом, либо рядом динамики) в экономике подразумевается последовательность наблюдений некоего показателя (случайной величины) Y в последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения именуются уровнями последовательности, каковые будем обозначать yt (t = 1,2,…, п), где п — число уровней.

В табл. 1 приведены эти, отражающие спрос на некоторый товар за восьмилетний период (усл. ед), т. е. временной последовательность спроса yt.

Таблица 1

Год, t
Спрос, yt

Как пример на рис.1 временной последовательность yt изображен графически.

В общем виде при изучении экономического временного последовательности yt выделяются пара составляющих:

yt=ut+vt+ct+ t (t=1,2,…,n),

где ut- тренд, медлено изменяющаяся компонента, обрисовывающая чистое влияние долгосрочных факторов, т. е. долгую («вековую») тенденцию трансформации показателя (к примеру, рост населения, развитие экономики, изменение структуры потребления и т. п.);

vt — сезонная компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение не весьма долгого периода (года, время от времени месяца, семь дней и т. д., к примеру, количество продаж товаров либо перевозок пассажиров в разные времена года);

ct — циклическая компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение долгих периодов (например, влияние волн экономической активности Кондратьева, демографических «ям», циклов солнечной активности и т. п.);

t — случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся регистрации и учёту случайных факторов.

Рис 1

направляться обратить внимание на то, что в отличие от е, первые три составляющие (компоненты) ut,vt,ct являются закономерными, неслучайными.

Ответственной хорошей задачей при изучении экономических временных последовательностей есть статистическая оценка и выявление главной тенденцииразвития изучаемого отклонений и процесса от нее.

Отметим главные этапы анализа временных последовательностей:

описание поведения и графическое представление временного последовательности;

удаление и выделение закономерных (неслучайных) составляющих временного последовательности (тренда, сезонных и циклических составляющих);

фильтрация и сглаживание (удаление низко- либо высокочастотных составляющих временного последовательности);

изучение случайной составляющей временного последовательности, проверка и построение адекватности математической модели для ее описания;

прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного последовательности;

изучение связи между разными временными последовательностями.

Стационарные временные их характеристики и ряды. Автокорреляционная функция.

Серьёзное значение в анализе временных последовательностей имеют стационарные временные последовательности, вероятностные особенности которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды используются, например, при описании случайных составляющих разбираемых последовательностей.

Временной последовательность именуется строго стационарным, в случае если совместное распределение возможностей n наблюдений такое же, как и n наблюдений при любых . Свойства строго стационарных последовательностей не зависят от момента : и закон распределения, и его числовые характеристики не зависят от . Следовательно, математическое ожидание , с квадратичным отклонением смогут быть оценены по наблюдениям по формулам

,

Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного последовательности и возможно выяснена посредством коэффициента корреляции :

Так коэффициент измеряет корреляцию между участниками одного и того же последовательности, его именуют коэффициентом автокорреляции, а зависимость — автокорреляционной функцией. (В силу стационарности временного последовательности , автокорреляционная функция зависит лишь от лага , причем . При изучении возможно ограничиться лишь хороших значений ).

Статистической оценкой есть выборочный коэффициент корреляции :

Замечание: С повышением число пар значительно уменьшается, исходя из этого лаг должен быть таким, дабы число было достаточным для определения .

Для стационарных временных последовательностей с повышением лага связь участников временного последовательности и ослабевает и обязан убывать по полной величине. Одновременно с этим для при маленьком числе пар наблюдений , свойство монотонного убывания при росте ? может нарушаться.

Наровне с автокорреляционной функцией при изучении стационарных временных последовательностей рассматривается личная автокорреляционная функция , где — личный коэффициент автокорреляции, другими словами коэффициент корреляции между и при устранении влияния промежуточных участников.

Статистической оценкой есть выборочная личная автокорреляционная функция , где , — выборочный личный коэффициент корреляции. Выборочный личный коэффициент автокорреляции 1 порядка между участниками временного последовательности и возможно вычислен по формуле:

,

(где – выборочные коэффициенты автокорреляции между и , и , и , соответственно.

Разглядим пример №1,№2.

Замечание. Знание выборочных автокорреляционных функций и может оказать значительную помощь при идентификации и подборе модели разбираемого временного последовательности и статистической оценке его параметров.

Отсутствие корреляции между соседними участниками является хорошим основанием вычислять, что корреляция отсутствует в целом, и простой способ мельчайших квадратов дает адекватные и действенные результаты.

Разглядим два метода обнаружения автокорреляции остатков (а следовательно, и случайных составляющих).

Первый метод – графический. Посредством способа мельчайших квадратов оценивается регрессия. Рассчитываются остатки . Строится график зависимости остатков от номера наблюдения – t .

Второй метод – основан на применении критерия Дарбина-Уотсона. Тест Дарбина-Уотсона определяет наличие автокорреляции между соседними участниками. В случае если корреляция неточностей регрессии не равна нулю, то она присутствует и в остатках регрессии , получающихся в следствии применения простого способа мельчайших квадратов.

В тесте Дарбина-Уотсона для оценки корреляции употребляется статистика вида . Для вычислений рекомендуется пользоваться формулой .

Критерий Дарбина-Уотсона не есть статистическим, поскольку распределение статистики зависит не только от числа наблюдений, но и от значений факторов (регрессоров). Исходя из этого нельзя указать критическую область, которая разрешала бы отвергнуть догадку об отсутствии корреляции, если бы оказалось, что в эту область попало замечаемое значение статистики . Но существуют два пороговых значения и , зависящие лишь от числа наблюдений, числа регрессоров и уровня значимости, такие, что выполняются условия:

1). В случае если , то принимается догадка об отсутствии автокорреляции.

2). В случае если , либо , то вопрос о присутствии автокорреляции открыт (территории неопределенности).

3). В случае если , то принимается догадка о хорошей автокорреляции.

4). В случае если , то принимается догадка об отрицательной автокорреляции.

Лекция 15: Анализ последовательностей динамики. Автокорреляция


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: