Сущность и виды средних величин

В большинстве случаев, многие показатели единиц статистических совокупностей разны по собственному значению, к примеру, зарплата рабочих одной профессии какого-либо предприятия не однообразна за одинаковый период времени, разны урожайность сельскохозяйственных культур в хозяйствах района и цены на рынке на однообразную продукцию и т.д. Исходя из этого, дабы найти значение показателя, характерное для всей изучаемой совокупности единиц, прибегают к расчету средних размеров.

Средней величинойв статистике именуется обобщающий показатель, характеризующий обычный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину показателя в расчете на единицу как следует однороднойсовокупности по одномуварьирующему показателю. В экономической практике употребляется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних размеров.

К примеру, обобщающим показателем доходов рабочих акционерного общества (АО) помогает средний доход одного рабочего, определяемый отношением фонда заработной платы и выплат социального характера за разглядываемый период (год, квартал, месяц) к численности рабочих АО. Для лиц с достаточно однородным уровнем доходов, к примеру, работников бюджетной пенсионеров и сферы по старости (кроме имеющих дополнительные доходы и льготы) возможно выяснить обычные доли затрат на приобретение предметов питания. Так возможно сказать о средней длительности рабочего дня, среднем тарифном разряде рабочих, среднем уровне производительности труда и т.д.

Вычисление среднего — один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, одновременно с этим он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом его развитии и явлении имеет место сочетание случайностии необходимости. При исчислении средних в силу действия закона солидных чисел случайности взаимно погашаются, уравновешиваются, исходя из этого возможно отвлечься от несущественных изюминок явления, от количественных значений показателя в каждом конкретном случае. В способности отвлечься от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная сокровище средних как обобщающиххарактеристик совокупностей.

В том месте, где появляется потребность обобщения, расчет таких черт ведет к замене множества разных личных значений показателя средним показателем, характеризующим всю совокупность явлений, что разрешает распознать закономерности, свойственные массовым публичным явлениям, незаметные в единичных явлениях.

Средняя отражает характерный, обычный, настоящий уровень изучаемых явлений, характеризует эти их изменения и уровни во времени и в пространстве.

Средняя — это сводная черта закономерностей процесса в тех условиях, в которых он протекает.

Анализ средних выявляет, к примеру, закономерности трансформации производительности труда, заработной платы рабочих отдельного предприятия на определенном этапе его экономразвития, трансформации климата в конкретном пункте земного шара на базе долгих наблюдений средней температуры воздуха и др.

Но чтобы средний показатель был вправду типизирующим, он обязан определяться не для любых совокупностей, а лишь для совокупностей, складывающихся из как следует однородных единиц. Это есть главным условием научно обоснованного применения средних.

Средние, полученные для неоднородных совокупностей, будут искажать темперамент изучаемого публичного явления, фальсифицировать его, либо будут тщетными. Так, в случае если вычислить средний уровень доходов служащих какого-либо района, то окажется фиктивный средний показатель, потому, что для его исчисления использована неоднородная совокупность, включающая в себя служащих фирм разных типов (национальных, совместных, арендных, акционерных), и органов национального управления, сферы науки, культуры, образования и т.п. В таких случаях способ средних употребляется в сочетании с способом группировок, разрешающим выделить однородные группы, по которым и исчисляются типические групповые средние.

Групповые средние разрешают избежать огульных средних, снабжают сравнение уровней отдельных групп с неспециализированным уровнем по совокупности, обнаружение имеющихся различий и т.д.

Но нельзя сводить роль средних лишь к чёрту типических значений показателей в однородных по этому показателю совокупностях. На практике современная статистика применяет так именуемые системные средние,обобщающие неоднородные явления (чёрта страны, единой народнохозяйственной совокупности: к примеру, средний ВВП на одного человека, средняя урожайность зерновых по всей стране, средний настоящий доход на одного человека, среднее потребление продуктов питания на одного человека, производительность публичного труда).

В наше время развития рыночных взаимоотношений в экономике средние являются инструментом изучения объективных закономерностей социально-экономических явлений. Но в экономическом анализе нельзя ограничиваться только средними показателями, поскольку за неспециализированными благоприятными средними смогут прятаться и большие большие недочёты в деятельности отдельных хозяйствующих субъектов, и ростки нового, прогрессивного. Так, к примеру, распределение населения по доходу разрешает выявлять формирование новых социальных групп. Исходя из этого наровне со средними статистическими разрешёнными необходимо учитывать особенности отдельных единиц совокупности.

Средняя обязана исчисляться для совокупности, складывающейся из большого числа единиц, поскольку в этом случае в соответствии с закону солидных чисел взаимно погашаются случайные, личные различия между единицами, и они не оказывают значительного влияния на среднее значение, что содействует проявлению главного, значительного, свойственного всей массе. В случае если основываться на среднем из маленькой группы данных, то возможно сделать неправильные выводы, потому, что таковой средний показатель будет отражать большое влияние личных изюминок, т.е. случайных моментов, не характерных для изучаемой совокупности в целом.

Любая средняя характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одномупризнаку, но для чёрта любой совокупности, описания ее типических линия и качественных изюминок нужна совокупность средних показателей. Исходя из этого в практике отечественной статистики для изучения социально-экономических явлений, в большинстве случаев, исчисляется совокупность средних показателей. Так, к примеру, показатели средней заработной платы оцениваются совместно с показателями средней выработки, энерговооружённости и фондовооруженности труда, степенью автоматизации и механизации работ и др.

Средняя обязана вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя. Исходя из этого для конкретного показателя, применяемого в социально-экономическом анализе, возможно исчислить лишь одно подлинное значение средней на базе, научного метода расчета.

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и данных. В каждом конкретном случае используется один из видов средних размеров: арифметическом, гармоническая, геометрическая, квадратическал, кубическаяи т.д.

Перечисленные средние относятся к классу степенныхсредних и объединяются неспециализированной формулой (при разных значениях т):

= (1.5.1)

где х — среднее значение исследуемого явления; т — показатель степени средней; хi — текущее значение (вариант) осредняемого показателя; n — число показателей.

Потом пределы суммирования не указываются. В зависимости от значения показателя степени т различают следующие виды степенных средних:

при т = -1 — средняя гармоническая xгр;

при т = 0 — средняя геометрическая xг;

при т = 1 — средняя арифметическая хар.;

при т = 2 — средняя квадратическая хкв.;

при т = 3 — средняя кубическая хкуб..

При применении одних и тех же данных, чем больше т в формуле (1.5.1), тем больше значение средней величины:

xгр. ? xг. ? хар. ? хкв. ? хкуб.

Это свойство степенных средних возрастать с увеличением показателя степени определяющей функции именуется в статистике правилом мажорантности средних.

Темперамент имеющихся данных определяет существование лишь одного подлинного среднего значения показателя. Вид средней выбирается в каждом отдельном случае методом конкретного анализа изучаемой совокупности, он определяется материальным содержанием изучаемого явления, и правилами взвешивания и суммирования.

Самый распространенным видом средних есть средняя арифметическая. Она определяется в тех случаях, в то время, когда количество варьирующего показателя для всей совокупности есть суммой значений показателей отдельных ее единиц. Для публичных явлений характерна аддитивность (суммированность) количеств варьирующего показателя, этим определяется область применения средней арифметической и разъясняется ее распространенность как обобщающего показателя. Так, к примеру: неспециализированный фонд заработной платы – это сумма заработных плат всех работников, валовой сбор урожая – сумма произведенной продукции со всей посевной площади.

Дабы исчислить среднюю арифметическую, необходимо сумму всех значений показателей поделить на их число.

Средняя арифметическая используется в форме несложной средней и взвешенной средней. Исходной, определяющей формой помогает несложная средняя.

Средняя арифметическая несложная равна несложной сумме отдельных значений осредняемого показателя, дроблённой на неспециализированное число этих значений (она используется в тех случаях, в то время, когда имеются несгруппированные личные значения показателя):

Хар. = х1 + х2 + … + хn / n = ?х / n (1.5.2.)

где х1, х2,…,хn – личные значения варьирующего показателя (варианты); n — число единиц совокупности.

Средняя из вариантов, каковые повторяются разное число раз, либо, как говорят, имеют разный вес, именуется взвешенной. В качестве весов выступают численности единиц в различных группах совокупности (в группу объединяют однообразные варианты).

Средняя арифметическая взвешенная – средняя сгруппированных размеров х1, х2,…,хn – вычисляется по формуле.

Х = х1f1 + х2 f2 + … + хn fn / f1 + f2 + … +fn= ?хf / ?f (1.5.3)

где f1, f2, …, fn – веса (частоты повторений однообразных показателей);

?хf – сумма произведений величины показателей на их частоты;

?f — общее колличество единиц совокупности.

В отдельных случаях веса смогут быть представлены не безотносительными размерами, а относительными (в процентах либо долях единицы). Тогда формула средней арифметической взвешенной будет иметь вид:

Х = ?хd / ?d (1.5.4.)

где d = f/ ?f – частость, т.е. часть каждой частоты в общей сумме всех частот.

В случае если частоты подсчитывают в долях (коэффициентах), то ?d = 1, и формула средней арифметической взвешенной имеет форму:

Х = ?хd (1.5.5.)

Довольно часто приходится исчислять среднюю по групповым средним либо по средним отдельных частей совокупности (частным средним), т.е. среднюю из средних. Так, к примеру, средняя длительность судьбы граждан страны является средним из средних длительностей судьбы по отдельным регионам данной страны.

Средние из средних рассчитываются равно как и средние из начальных значений показателя. Наряду с этим средние, каковые помогают для исчисления на их базе неспециализированной средней, принимаются в качестве вариантов.

Вычисление средней арифметической взвешенной из групповых средних х,осуществляется по формуле:

Х = ?хf / ?f (1.5.6.)

где f — число единиц в каждой группе.

В случае если значения осредняемого показателя заданы а виде промежутков (от — до), т.е. интервальных последовательностей распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений показателей в группах принимают середины этих промежутков, в следствии чего образуется дискретный последовательность.

Вычисление средней арифметической довольно часто сопряжено с громадными затратами времени и труда. Но во многих случаях процедуру расчета средней возможно упростить и уменьшить, в случае если воспользоваться ее особенностями. Приведем (без доказательства) кое-какие фундаментальные особенности средней арифметической.

Свойство 1. Сумма отклонений личных значений показателя от средней арифметической равна нулю.

? (х – xaр.) = 0

Свойство 2. В случае если все личные значения показателя (т.е. все варианты) уменьшить либо расширить в i раз, то среднее значение нового показателя соответственно уменьшится либо увеличится в i paз.

=

Свойство 3. В случае если все варианты осредняемого показателя уменьшить либо расширить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится либо увеличится на это же число А.

A

Свойство 4. В случае если веса всех осредняемых вариантов уменьшить либо расширить в к раз, то средняя арифметическая не изменится.

=

Для упрощения расчетов средней идут по пути частот значений и уменьшения вариантов. Громаднейшее упрощение достигается, в то время, когда в качестве А выбирается значение одного из центральных вариантов, владеющего громаднейшей частотой, в качестве i — величина промежутка (применимо лишь для последовательностей с однообразными промежутками). Величина А именуется началом отсчета, исходя из этого таковой способ вычисления средней именуется методом отсчета от условного нуля либо методом моментов.

Допустим, что все варианты х сперва уменьшены на одно да и то же число А, а после этого уменьшены в i раз. Возьмём новый вариационный последовательность распределения новых вариантов х . Тогда новые варианты будут выражаться

=

а их новая средняя арифметическая m1 – момент первого порядка — формулой

=

и будет равна средней из начальных вариантов, уменьшенной сперва на А, после этого в i раз.

Для получений настоящей средней нужно момент первого порядка mi умножить на i и прибавить А:

= I + A = (1.5.7.)

Это и будет формула средней по методу моментов. Используется данный метод в рядах с равными промежутками.

Использование метода моментов так облегчает расчеты, что разрешает их делать без применения вычислительной техники при солидных и многозначных числах, характеризующих личные значения осредняемых показателей.

При расчете средних показателей кроме средней арифметической смогут употребляться и другие виды средних. Но каждая средняя величина обязана вычисляться так, дабы при замене ею каждого варианта осредняемого показателя не изменялся итоговый, обобщающий, либо, как его принято именовать определяющий показатель,что связан с осредняемым показателем (к примеру, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней скоростью не должно измениться неспециализированное расстояние, пройденное транспортным средством за одно да и то же время; при замене фактической заработной платы отдельных работников предприятия средней заработной платой, не должен измениться фонд заработной платы).

Следовательно, в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных, существует лишь одно подлинное среднее значение показателя, адекватное сущности и свойствам изучаемого социально-экономического явления.

Вид средней определяется характером связи определяющего показателя с осредняемым.

Средняя арифметическая, как было продемонстрировано выше, используется в тех случаях, в то время, когда известны варианты варьирующего показателя х и их частоты f.

В то время, когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение xf, используется формула средней гармонической взвешенной. Дабы исчислить среднюю, обозначим xf=M, откуда f=M/x . Сейчас преобразуем формулу средней арифметической так, дабы По сведеньям, которыми мы сейчас рассполагаем, х и М возможно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной (3.3.) вместо xf подставим М, вместо f — отношение М/х и возьмём формулу средней гармонической взвешенной:

= (1.5.8.)

где М = х? f.

Из приведенной выше формулы видно, что средняя гармоническая — средняя взвешенная из варьирующих обратных значений показателя. Она есть преобразованной формой арифметической средней и тождественна ей. Вместо гармонической неизменно возможно вычислить среднюю арифметическую, но для этого сперва необходимо выяснить веса отдельных значений показателя, скрытые в весах средней гармонической.

Так, средняя гармоническая используется тогда, в то время, когда малоизвестны настоящие веса f, а известно M=xf.

Исчисление средней гармонической взвешенной освобождает от необходимости предварительного расчета весов, потому, что эта операция заложена в формулу.

В тех случаях, в то время, когда вес каждого варианта равен единице (т.е. личные значения обратного показателя видятся по одному разу), используется средняя гармоническая несложная, исчисляемая по формуле:

= . (1.5.9.)

В случае если по двум частям совокупности (численности n1 и n2) даны средние гармонические, то неспециализированную среднюю гармоническую по всей совокупности возможно представить как взвешенную гармоническую среднюю из групповых средних:

= (1.5.10.)

Средняя геометрическаяприменяется в тех случаях, в то время, когда личные значения показателя являются, в большинстве случаев, относительные размеры динамики, выстроенные в виде цепных размеров, как отношение к прошлому уровню каждого уровня в последовательности динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическаяисчисляется извлечением корня степени и из произведений отдельных значений — вариантов показателя х:

несложная средняя геометрическая:

= = (1.5.11.)

где n — число вариантов; П — символ произведения. взвешенная:

= = (1.5.12.)

самоё широкое использование средняя геометрическая взяла для определения средних темпов трансформации в рядах динамики, а также в рядах распределения.

Во многих случаях в экономической практике появляется потребность расчета среднего размера показателя, выраженного в квадратных либо кубических единицах измерения, Тогда используется средняя квадратическая(к примеру, для вычисления квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая(к примеру, при определении средней длины стороны и кубов).

Средняя квадратическая простаяявляется квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений показателя на их число:

= = . (1.5.13.)

Статистика. Формулы нахождения средних размеров


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: