Теорема гаусса — маркова

Теорема. В случае если предпосылки 1 — 5 выполнены, то оценки, полученные по МНК, владеют следующими особенностями:

1. Оценки являются несмещенными, т.е. M[b0] = b0, M[b1] = b1. Это говорит об отсутствии систематической неточности при определении положения линии регрессии.

2. Оценки состоятельны, т.к. при n ® µ D[b0] ® 0, D[b1] ® 0. Это указывает, что с ростом nнадежность оценок возрастает.

3. Оценки действенны, т.е. они имеют мельчайшую дисперсию если сравнивать с любыми вторыми оценками данных параметров, линейными относительно величин yi.

20.Дисперсии и стандартные неточности коэффициентов (ковариационная матрица и ее выборочная оценка)

Знание стандартных ошибок и дисперсий разрешает разбирать точность оценок, строить доверительные промежутки для теоретических коэффициентов, контролировать соответствующие догадки. Самый комфортно формулы расчета разрешённых характеристик приводить в матричной форме.

Преобразуем вектор оценок с учетом наличия случайной составляющей:

,

Т.е. оценки параметров, отысканные по выборке, будут содержать случайные неточности.

Вариации оценок параметров будут определять точность уравнения множественной регрессии. Для их измерения в многомерном регрессионном анализе разглядывают ковариационную матрицу К, являющуюся матричным аналогом дисперсии одной переменной

, .

Ковариация характеризует как степень рассеяния значений двух переменных довольно их математических ожиданий, так и связь этих переменных. Так как есть несмещенной оценкой, то

, .

В матричном виде будем иметь

,

так как эти элементы Х – детерминированные размеры.

В матрице все элементы, не лежащие на основной диагонали, равны нулю в силу некоррелируемости и между собой, а все элементы, лежащие на основной диагонали равны одной и той же дисперсии : . Исходя из этого и, следовательно, ковариационная матрица

.

Так как 2 малоизвестна, заменив её несмещённой оценкой – выборочной дисперсией,

,

где (n-p-1) – число степеней свободы, возьмём выборочную оценку ковариационной матрицы.

Интервальные оценки коэффициентов уравнения множественной регрессии. Проверка статистической значимости коэффициентов уравнения множественной регрессии.

Как и при парной регрессии, статистическая значимость коэффициентов множественной линейной регрессии с растолковывающими переменными проверяется на базе -статистики:

имеющей в этом случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы . При требуемом уровне значимости замечаемое значение -статистики сравнивается с табличным значением распределения Стьюдента.

, если , то статистическая значимость соответствующего коэффициента регрессии подтверждается. Это указывает, что фактор линейно связан с зависимой переменной . В случае если же установлен факт незначимости коэффициента , то рекомендуется исключить из уравнения переменную . Это не приведет к значительной утрата качества модели, но сделает ее более конкретной.

Что сделать с мультиколлинеарностью


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: