Теоретические сведения. определение: статистической гипотезой называется всякое непротиворечивое множество утверждений {н0, н1

Определение: Статистической гипотезой называется всякое непротиворечивое множество утверждений {Н0, Н1, …, Hk-1} относительно свойств распределения случайной величины. Любое из утверждений Hi называется альтернативой гипотезы. Простейшей гипотезой является двухальтернативная {H0, H1}.

В этом случае альтернативу H0 называют нулевой гипотезой, а H1 — конкурирующей гипотезой.

Определение: Критерием называется случайная величина , которая позволяет принять или отклонить нулевую гипотезу H0.

При проверке гипотез можно допустить ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отклонена гипотеза H0, если она верна ("пропуск цели"). Вероятность совершить ошибку первого рода обозначается ? и называется уровнем значимости. Наиболее часто на практике принимают, что ? = 0,05 или ? = 0,01.

Ошибка второго рода заключается в том, что гипотеза H0 принимается, если она неверна ("ложное срабатывание"). Вероятность ошибки этого рода обозначается ?.

Определение: Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения.

Критерий согласия

Это один из наиболее часто применяемых критериев. Алгоритм проверки гипотезы следующий.

1. Построить гистограмму равновероятностным способом.

2. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу

,

,

где f0(x) — плотность вероятности гипотетического закона распределения: равномерного, экспоненциального или нормального.

Замечание. Гипотезу об экспоненциальном законе распределения можно выдвигать в том случае, если все числа в выборке положительные.

3. Вычислить значение критерия по формуле

где — частота попадания в i-й интервал;

— теоретическая вероятность попадания случайной величины в i- й интервал при условии, что гипотеза H0 верна.

Формулы для расчета в случае экспоненциального, равномерного и нормального законов соответственно равны.

Экспоненциальный закон

При этом A1 = 0, Bm = +?.

Равномерный закон

Нормальный закон

При этом A1 = -?, BM = +?.

Замечания. После вычисления всех вероятностей проверить, выполняется ли контрольное соотношение

4. Из таблицы "Хи-квадрат" приложения выбирается значение , где ? — заданный уровень значимости (? = 0,05 или ? = 0,01), а k — число степеней свободы, определяемое по формуле

Здесь s — число параметров, от которых зависит выбранный гипотезой H0 закон распределения. Значения s для равномерного закона равно 2, для экспоненциального — 1, для нормального — 2.

5. Если , то гипотеза H0 отклоняется. В противном случае нет оснований ее отклонить.

Критерий согласия Колмогорова

Последовательность действий при проверке гипотезы следующая.

1. Построить вариационный ряд.

2. Построить график эмпирической функции распределения F*(x).

3. Выдвинуть гипотезу:

,

,

где F0(x) — теоретическая функция распределения типового закона: равномерного, экспоненциального или нормального.

Ниже приведены формулы для расчета F0(x).

Равномерный закон

Экспоненциальный закон

Нормальный закон

4. Рассчитать по формулам 10-20 значений и построить график функции F0(x) в одной системе координат с функцией F*(x).

5. По графику определить максимальное по модулю отклонение между функциями F*(x) и F0(x).

6. Вычислить значение критерия

7. Принимают тот или иной уровень значимости (чаще всего 0,05 или 0,01). Тогда доверительная вероятность ? =1?? .

8. Из таблицы вероятностей Колмогорова (см. приложение) выбрать критическое значение ??.

9. Если ? > ?? , то нулевая гипотеза H0 отклоняется, в противном случае — принимается, хотя она может быть неверна.

Достоинства критерия Колмогорова по сравнению с критерием ?2: возможность применения при очень маленьких объемах выборки (n < 20), более высокая «чувствительность» а следовательно, меньшая трудоемкость вычислений.

Недостаток: критерий можно использовать в том случае, если параметры Q1, …, Qk распределения заранее известны, а эмпирическая функция распределения F*(x) должна быть построена по несгруппированным выборочным данным.

Задание для самостоятельной работы:

Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия ?2 и критерия Колмогорова (? = 0,05).

Рекомендуемая литература: 3; 4; 5

Рандомно подобранные статьи с сайта:

ДОКЛАД ИСКОННАЯ ФИЗИКА АЛЛАТРА. ВИДЕО-ВЕРСИЯ. ALLATRA SCIENCE.


Похожие статьи:

admin