Условия выпуклости условия вогнутости

2.3. (4 балла) Изобразить вогнутости и области выпуклости заданной функции в пространстве , и заданное множество

2.4. (1 балл) Обосновать выпуклость множества аналитически

2.5. (1 балл) Отметить галочкой верный ответ

Выпукла на Вогнута на Не выпукла и не вогнута на

Оценка: не заполнять!

Задача 3 (12 баллов)

Компания может создавать три вида продукции: А, В и С. Для производства единиц продукции А, единиц продукции В и единиц продукции С требуется единиц ресурса, запасы которого равны 6 единицам. Прогнозируемая цена на рынке для продукции вида А образовывает 1 тыс. рублей, вида В – 2 тыс. рублей, вида С – 2 тыс. рублей.

Разработать оптимальный замысел производства продукции, максимизирующий доход от ее продажи на рынке, в предположении полного расходования запасов ресурса. Как изменится большой доход, в случае если запас ресурса расширить на 0,01 единицы?

Решить задачу способом Лагранжа как хорошую задачу математического программирования с оценкой чувствительности (ответа, не соответствующие физическому смыслу переменных, отбросить в конце ответа задачи).

Этапы ответа

3.1. (1 балл) Составить математическую модель задачи

3.2. (1 балл) Проверить исполнение условия Якоби

Вычисления

Вывод

3.3. (1 балл) Выписать функцию Лагранжа

3.4. (1 балл) Выписать нужные условия первого порядка

3.5. (1 балл) Отыскать стационарные точки

Вычисления

Стационарные точки

3.6. (1 балл) Выписать окаймленную матрицу Гессе

3.7. (3 балла) Методом изучения окаймленной матрицы Гессе установить вид и наличие локальных экстремумов в отысканных стационарных точках

Вычисления

Выводы

3.8. (2 балла) Отыскать ответ задачи (точку глобального максимума, большое значение целевой функции) с обоснованием

Оптимальная точка

(1 балл)

Большое значение

Обоснование

(1 балл)

3.9. (1 балл) Оценить, как изменится оптимальный доход, в случае если запас ресурсов расширить на 0,01 единицы

Вычисления

Вывод

Оценка: не заполнять!

Задача 4 (18 баллов) Изучить задачу нелинейного программирования

при

Этапы ответа

4.1.(1 балл) Привести задачу к стандартному видуи к виду, эргономичному для графического анализа (прямые ограничения представлены в форме функциональных)

Обычный вид задачи Вид задачи, удобный для графического анализа

4.2. (2 балла) Изобразить линии уровня и допустимое множество целевой функции

4.3. (1 балл) Обосновать существование либо отсутствие ответа задачи

4.4. (1 балл) есть ли эта задача задачей выпуклого программирования? Ответ обосновать и подтвердить расчетами.

4.5. (1 балл) Вычислить градиенты всех функций и целевой функции, обрисовывающих ограничения

4.6. (1 балл) Отыскать точки, в которых не выполняется условие Якоби, либо обосновать их отсутствие

4.7. (4 балла) Отыскать графически все точки, в которых выполняются условия Куна-Таккера (изобразить направления градиентов на рисунке из п.4.2 и обозначить их), вычислить их координаты и выписать разложения градиента целевой функции по градиентам функций, обрисовывающих активные ограничения

Точка (координаты) Разложение (без вычисления коэффициентов)

4.8. (2 балла) На основании известных Вам нужных либо достаточных условий (а где нереально, – на базе графического анализа) сделать вывод о наличии либо отсутствии локального максимума во всех угловых точках, а также в других точках, в которых выполняется условие Куна-Таккера

Точка
Наличие локального максимума (+), отсутствие (–)

4.9. (4 балла) Посредством функции Лагранжа проверить аналитически исполнение условий Куна-Таккера в точке (3;0)

а) Выписать функцию Лагранжа для данной задачи (1 балл)

б) Выписать совокупность условий Куна-Таккера для задачи с двумя переменными и и двумя функциональными ограничениями, применяя знак функции Лагранжа (1 балл)

в) Выписать совокупность условий Куна-Таккера для заданной точки, решить ее и сделать вывод

(2 балла)

Указать верный вывод: Условие Куна-Таккера выполняется

Условие Куна-Таккера не выполняется

4.10. Отыскать (с обоснованием) глобальный максимум (1 балл)

Обоснование

Оценка: не заполнять!

Экзаменационная работа

Задача 1. (7 баллов). Некоторый гражданин желает извлечь доход из имеющейся у него суммы в 100 тыс. руб. Он разглядывает три возможности – положить все деньги в банк на срочный вклад, либо положить их в инвестиционный фонд, либо купить на них акции. Доход от этих действий, но, не в любых ситуациях известен заблаговременно, потому, что зависит от всемирный стоимость бареля нефти. Тогда как банк гарантирует 5 % годовых при любых стоимостях на нефть, доход от вложений в инвестиционный фонд зависит от этих стоимостей: при больших стоимостях он составит 25 % от положенной суммы за год, при средних стоимостях составит 15 % за год, а при низких стоимостях будут иметь место утраты, каковые составят 10 %. При приобретения акций, доходы составят 40 % за год при больших стоимостях на нефть и 1 % при средних стоимостях, а при низких стоимостях на нефть будут иметь место утраты в 20 %. Отыскать большую гарантированную оценку прибыли и обеспечивающее ответ, и наилучшие ответы по параметрам Байеса-Лапласа (равной возможности), Гурвича, Сэвиджа (минимизации сожалений).

Этапы ответа

1 балл 1.1. Формализация задачи

Обозначив вероятные ответы через x1, x2 и x3, а вероятные значения неопределенности через ?1, ?2 и ?3, составить матрицу доходов (платежную матрицу) aij= f(xi, ?j)

?1 ?2 ?3
x1
x2
x3
неспециализированная формула
итог

2 балла 1.2. Дать определения большого гарантированного результата и обеспечивающего ответа для матрицы доходов неспециализированного вида (f(xi, ?j) = aij, i = 1,…n; j = 1,…m), и отыскать такое решение и такой результат для матрицы п. 1.1.

= =

= =

итог
неспециализированная формула

1 балл 1.3. Дать определениенаилучшего решения по критерию Байеса-Лапласаи отыскать такое ответ для матрицы п. 1.1.

= =

= =

1 балл 1.4. Дать определениенаилучшего решения по критерию Гурвичаи отыскать такое ответ с параметром для матрицы п. 1.1.

итог
неспециализированная формула

= =

= =

2 балла 1.5. Дать определениянаилучшего решения по критерию Сэвиджа и отыскать такое ответ для матрицы п. 1.1.

итог

неспециализированная формула

= =

= =

Итоговая оценка:

(не заполнять!!!)

Задача 2. (8 баллов).

Фабрика по производству мороженого может производить пять сортов мороженого. При производстве мороженого употребляется два вида сырья: наполнители и молоко, запасы bj, j=1,2, которых совершенно верно известны. Планирование производства осуществляется в условиях неопределенности – неточно известны удельные затраты сырья , j=1,2, i=1,2,..,5, и цены продукции, i=1,2,..,5. Для неизвестных параметров известны диапазоны их вероятных значений (см. таблицу). Требуется выстроить замысел производства , что был бы выполним при любых значениях неизвестных параметров и снабжал максимум гарантированной оценки дохода в условиях, в то время, когда информация о связях между неизвестными параметрами отсутствует.

Количества производства bj — запасы сырья
– удельные затраты сырья 1 0,8 — 1 1,8 — 2 5 — 6 2,5 — 3 2,8 — 3 4 000
– удельные затраты сырья 2 0,7 — 1 6 — 7 1,7 — 2 10 — 12 4 — 5 2 000
– цены продукции 4 — 5 14 — 15 12 — 13 18 — 20 15 — 16

Этапы ответа

1 балл 2.1. Сведение к детерминированной задаче линейного программирования

1 балл 2.2. Запись двойственной задачи

4 балла 2.3. Графическое ответ двойственной задачи

2 балла 2.4. Ответ прямой задачи (с проверкой и обоснованием оптимальности)

Ответ: = ; = .

Итоговая оценка:

(не заполнять!!!)

Задача 3. (10 баллов).

В задаче двухкритериальной максимизации множество допустимых ответов задается неравенствами и , а критерии заданы соотношениями . Отклонение от целевого множества задается функцией

.

ЛПР задал целевую точку =(3,4). Требуется:

— отыскать и изобразить множество достижимых критериальных векторов Z, его паретову границу P(Z) и совершенную точку ;

— изобразить целевое множество G;

— изобразить линии уровня функции ; графически решить задачу нахождения достижимой точки , дающей минимум отклонения от целевого множества;

— аналитически записать задачу минимизации отклонения от целевой точки в виде задачи линейного программирования.

Этапы ответа

1 балл 3.1. Изобразить множество допустимых ответов и отыскать его вершины.

Вершины множества допустимых ответов:

3 балла 3.2. Отыскать образывершин в пространстве параметров;отыскать и изобразитьмножество достижимых критериальных векторов Z, его паретову границу P(Z) и совершенную точку z*.

Вершины множества достижимых критериальных векторов:

Множество достижимых критериальных векторов, его паретова граница P(Z) и совершенная точка z*

4 балла 3.3. Изобразить целевое множество G, линии уровня функции и множество Z; графически решить задачу нахождения достижимой критериальной точки , дающей минимум отклонения от целевого множества.

вогнутость и Выпуклость


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: