Устойчивость систем с позиций управления

В нашем восприятии мира представления об устойчивости носят основополагающий характер. Человек может изучать и работать с теми объектами, которые ощутимо сохраняются во времени или повторяются. Без наличия определенной устойчивости не может существовать сознание, да и вообще живой организм.

Как вы знаете, любой объект можно рассматривать с точки зрения его внешнего вида, структуры и поведения. Оказывается, именно структура объекта в наибольшей степени «отвечает» за его устойчивость. Любой объект можно рассматривать как систему, а потому необходимо определить, что же такое устойчивость систем.

Считается, что данная система устойчива, или структурно устойчива, если при достаточно малых изменениях в ее структуре поведение системы становится в некотором смысле аналогичным поведению исходной системы. Разумеется, в каждом конкретном случае мы должны точно определить, что подразумевается под выражением «достаточно малые» и «аналогично».

Пример.Солнечная система, является устойчивой системой. Эта устойчивость объясняется доминирующим действием Солнца, подавляющим взаимное притяжение планет. Вместе с тем, это действие позволяет планетам двигаться.

Если бы притяжение было бы очень сильным, планеты бы просто бы упали на Солнце.

Предположим теперь, что мы имеем систему притягивающихся друг к другу планет без учета притяжения Солнца. В простейшем случае, когда у нас только три планеты, мы приходим к знаменитой и очень сложной задаче «трех тел»: как будет вести себя система из трех тел, между которыми существует сила притяжения, обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними? Оказывается — очень непросто, и до конца эта задача не решена до сих пор.

Пример.Другим астрономическим примером служит внутренняя устойчивость звезды. Она обеспечивается взаимодействием двух противоположных процессов: сжатия вещества под влиянием гравитации и его расширения за счет кинетической энергии, приобретенной в ядерных реакциях. Сжатие повышает плотность и температуру, что ведет к усилению термоядерной реакции. Полученная при этом кинетическая энергия вещества ведет к расширению вещества, а, значит, к понижению температуры и плотности.

Тогда уменьшается интенсивность термоядерных реакций и гравитационные силы сжимают вещество. Устойчивость звезды реализуется в виде сложных колебаний.

Пример.Для исследования проблем устойчивости известный специалист по кибернетике У.-Р. Эшби создал модель сложной системы — гомеостат, состоящей всего из четырех блоков, связанных между собой определенными связями (рис. 3.5.1).

В каждом из них имелся поворачивающийся под действием электрического тока магнит, положение которого влияло на величину электрического тока, подаваемого на другие блоки. Когда включали эту систему, все магниты начинали поворачиваться под действием токов от других блоков. Эти движения изменяли величину протекающего через магниты тока, который в своюочередь изменял движение магнитов.

При этом могло быть два случая: либо после некоторого переходного процесса все электромагниты оказались в некотором устойчивом состоянии и движение прекращалось, либо система не находила устойчивого состояния и один из электромагнитов выходил за пределы нормального отклонения. В схеме в этом случае происходили случайные переключения, и поиски равновесия возоб-

Рис. 3.5.1. Схема гомеостата У.-Р. Эшби

новлялись. В конце концов после нескольких случайных переключений система самостоятельно находила состояние равновесия.

Различные внешние возмущающие воздействия на гоме-остат — перестановки упоров, изменение связей, небольшие поломки — не нарушали его способности переходить в устойчивое состояние.

Интересна оценка Н. Винера результатов этих экспериментов: «Я полагаю, что блестящая идея Эшби о целеустремленном механизме, добивающемся своих целей через процесс научения, является не только одним из крупных философских достижений современности, но также ведет к весьма полезным техническим выводам в решении задач автоматизации. Мы не только можем придавать целевую направленность машине, но в подавляющем большинстве случаев машина, сконструированная для того, чтобы избегать аварийных ситуаций, будет отыскиввать цели, которые она может осуществить».

При изучении устойчивости динамических систем очень важным является понятие аттрактора (to attract — притягивать), т. е. такого состояния динамической системы, к которому она стремится, «притягивается». Это состояние может быть описано множеством, которое также называют аттрактором.

Пример.Простым примером динамической системы, иллюстрирующей понятие аттрактора, является маятник. Обычный движущийся маятник под действием сил трения в конце концов останавливается в точке, которая и есть в данном случае аттрактор, поскольку именно эта точка в процессе движения «притянула к себе» маятник.

Если описать движение маятника в прямоугольной системе координат, где по одной оси откладывается угол отклонения маятника от вертикали, а по другой — скорость изменения этого угла (в математике это называется фазовой плоскостью), то получим постепенное приближение маятника к аттрактору — началу координат (рис. 3.5.2).

Рис. 3.5.2

Движение обычного маятника

::>°л. ¦¦->¦

Пример.По другому ведет себя динамическая система, состоящая из часового механизма, маятника и груза на цепочке. Если раскачать маятник сильным толчком, то он начнет сильно раскачиваться, замедляясь затем до некоторого стабильного режима колебаний. На фазовой кривой этот режим изображается окружностью, которая в данном случае и является аттрактором (рис.

3.5.3).

Рис. 3.5.3

Движение маятника часов

Управляющие воздействия должны, с одной стороны, обеспечивать достижение поставленной цели, с другой — не нарушать относительной устойчивости системы, если система является изначально устойчивой. Если же напротив, система изначально является неустойчивой (например, государство в момент кризиса), то управление с необходимостью должно привести систему к относительно устойчивому состоянию.

И системы, управляемые субъектом, и самоуправляющиеся системы могут быть устойчивыми или неустойчивыми.

Устойчивость системы управления может быть достигнута разными очень разными путями, иногда очень простыми и остроумными.

Пример. Известно, что на военном флоте с давних времен устные команды и распоряжения, дословно повторяются теми, к кому они относятся. Например, офицер командует: «поднять якорь», а матрос отвечает «есть поднять якорь».

Этим простым приемом достигается значительная надёжность в управлении сложной системой — кораблем. При шуме ветра и волн матрос мог неправильно понять приказ, и его дублирование позволяло офицеру это проконтролировать.

По-видимому, самым эффективным средством повышения устойчивости управляемых и самоуправляющихся систем — это усиление влияния субъекта управления.

Пример. Как известно, в 1929 году в США и многих странах Западной Европы разразился глубочайший экономический кризис, получивший название Великой депрессии. Решающая роль в его преодолении принадлежала государству (субъекту управления). Например, военные расходы правительства США в 1941 году увеличились на 105% (по сравнению с 1940 г.), в 1942 году — на 175%, а в 1943 году еще на 50%.

В 1944 году расходы правительства США даже с поправкой на рост цен были в 6,5 раза выше, чем в 1940 году. Именно военные расходы встряхнули экономику США и вывели ее из трясины Великой депрессии.

Если цели управления и управляющие воздействия субъекта управления хорошо согласованы, состояния неустойчивости системы практически не возникают, поскольку субъект, как правило, с помощью обратных связей оперативно реагирует на первые признаки неустойчивости и стабилизирует систему. Иное дело самоуправляющаяся система или система, в которой субъект управления фактически не выполняет своих управленческих функций. В таких системах часто возникают кризисные ситуации.

С точки зрения традиционной схемы управления эти состояния крайне нежелательны. Но существует и такая точка зрения, что в кризисах заложен эффективный инструмент управления.

Фундаментальной значение в этом случае приобретают так называемые точки бифуркации (от французского bifurcation — раздвоение), то есть такие точки, в которых система становится неустойчивой и ее дальнейшее развитие возможно в разных направлениях в зависимости от случайных факторов.

Пример. Пусть к балке, изображенной на рисунке 3.5.4. приложена переменная сила F. Какое-то время балка находится в устойчивом состоянии, а затем, при некотором значении F0 прогибается. При этом, в какую сторону она прогнется — вправо или влево — зависит от случайных факторов. Значение силы F0 и определяет точку бифуркации.

Возможное развитие системы показано на графике.

Рис. 3.5.4. Прогибание балки под воздействием силы

Как свойство точек бифуркации используется в процессе управления? Предположим, что существует субъект, который поставил перед собой цель прогнуть балку в определенную сторону.

Будем считать, что балка является достаточно прочной и прямое управляющее воздействие, необходимое для изгибания балки является очень большим и, возможно, недостижимым для субъекта.

Однако, зная свойства точек бифуркации, можно кардинально поменять стратегию управления. Можно, используя тот факт, что на балку действует сила F, в точке бифуркации FQ, подействовать на нее малой силой и добиться желаемого результата.

Пример. Управление с использованием так называемых малых резонансных воздействий в точках бифуркации известно очень давно. Как свидетельствует история, рядом с властным лицом, не отличающимся умом или сдержанностью, всегда находится некто, кто в критические моменты (то есть точки бифуркации) дает ему советы, направляя его волю в определенную сторону.

История сохранила для нас имена многих таких людей: шут Шико при французском короле Карле IX (по версии А. Дюма), Э. И. Бирон при русской императрице Анне Иоанновне, философ Сенека при римском императоре Нероне и др.

Управление через малые резонансные воздействия в неустойчивых ситуациях может быть более эффективным, чем директивное (авторитарное) и демократическое (коллективное) управление. В социальных системах тому немало подтверждений. Возможно, поиски возможности реализации такого рода управления в технических системах приведут к интересным открытиям.

Система называется структурно устойчивой,если при достаточно малых изменениях в ее структуре поведение системы становится в некотором смысле аналогичным поведению исходной системы.

При изучении устойчивости динамической системы очень важным является понятие аттрактора— такого состояния системы, к которому она стремится, «притягивается». Это состояние может быть описано множеством, которое также называют аттрактором.

Понятие аттрактора является обобщением понятия равновесия.

Фундаментальное значение в изучении поведения системы и ее устойчивости имеют точки бифуркации,то есть такие точки, в которых система становится неустойчивой и направление ее дальнейшего развития зависит от случайных факторов.

Задание 1

Приведите примеры устойчивых и неустойчивых систем, известных вам из курсов физики, химии, биологии.

Задание 2

Определите, какие факторы (внутренние и внешние) могут влиять на устойчивость системы. Может ли управление быть одним из таких факторов?

Задание 3

Разработайте схему управления транспортным потоком после выпадения обильных снегопадов, приводящую транспортную систему к стабильному работоспособному состоянию.

Задание 4

Определите, являются ли следующие системы устойчивыми:

а) метроном;

б) экосистема в пруду для разведения рыбы;

в) стая обезьян;

г) система управления железнодорожным транспортом;

д) система образования.

(Cffi вопрос-проблема

1. Как следует из доклада ООН о развитии человечества
за 1998 год, три самых богатых человека в мире имеют сово
купное личное состояние, превышающее валовой продукт
48 наименее развитых стран, 225 самых богатых людей пла
неты имеют совокупное состояние более чем 1 трл долларов,
а 3/5 из 4,4 млрд жителей развивающихся стран лишены
канализации, 1/3 — чистой воды, 1/5 — медицинского об
служивания. Американцы тратят на косметику 8 млрд дол
ларов в год. По оценкам ООН, 6 млрд. долларов хвалило бы
для того, чтобы дать всем детям мира начальное образова
ние. Европейцы съедают мороженого на 11 млрд долларов в
год, хотя 9 млрд долларов хватило бы на то, чтобы обеспе
чить чистой водой и надежной канализацией всех нуждаю
щихся в мире. Американцы и европейцы тратят 17 млрд
долларов на корм для домашних животных, но 13 млрд хва
тило бы, чтобы обеспечить элементарную медицинскую по
мощь всех нуждающихся по всему миру.

Можно ли такую цивилизацию считать устойчивой системой? Каковы возможные перспективы её развития?

2. Чем, по вашему, является массовая культура — искус
ством или инструментом управления?

Как показали исследования американского экономиста Д. Стиглера (Нобелевская премия по экономике 1982 года), в самоуправляемых системах большинство прогнозов оказываются неточными, а решения принимаемые на их основе — неэффективными. Например, ни одно из постановлений правительства США, которое в течении ряда лет пыталась регулировать экономику, не дало ожидаемых результатов. Более того, эти результаты были прямо противоположными тем, которые ожидали.

Причина была в том, что в условиях неустойчивого развития системы схема: «управляющее воздействие — желаемый результат» не работает. Управление становится эффективным в том случае, когда главное не сила, а правильная организация воздействия на систему. Слабые, но правильно организованные, соответствующие структуре и тенденциям ее развития воздействия, оказывают более заметное влияние на систему, чем сильные, но прямые управляющие воздействия.

Такие воздействия получили название «слабых резонансных воздействий». Характерно, что наблюдатель, находящейся «внутри» системы, слабые резонансные воздействия практически не замечает, даже если они имеют искусственный характер.

Рассмотрим простейшую модель кругооборота капитала в какой-нибудь банковской системе.

Пусть в эту систему входит три банка: А, В, С, которые продают и покупают акции. Чтобы избежать больших чисел, будем считать, что стоимость всех акций ограничена единицей.

Предположим следующее:

• банк А продает некоторые акции по цене X.

• банк В, купив эти акции, в силу сложившихся обстоятельств вынужден продавать их по цене 1-Х.

• банк С, покупая акции у банков А и В, продает их по цене Х(1-Х).

• банк А, реагируя на такое изменение цены акций сам начинает продавать их по цене Х(1-Х), умноженной на некоторый коэффициент к, то есть по цене кХ(1-Х).

Рис. 3.5.5. Схема кругооборота капитала в условной банковской системе

При фиксированном коэффициенте к мы имеем систему, поведение которой зависит от значения к. Таким образом, к можно рассматривать как управляющее воздействие на данную систему.

Данная модель может быть реализована на компьютере. Тогда зависимость поведения системы от значения к можно детально исследовать с помощью компьютерного эксперимента (подробно об этом см. параграф главы 4, посвященный компьютерному эксперименту).

В итоге получается следующая картина.

При к < 3 переменная X стремиться к некоторому фиксированному значению Х0. В этом случае, аттрактор данной системы состоит из одной точки. Это — стабильное состояние системы.

При малом увеличении к (немного больше 3) значение X начинает колебаться между двумя значениями. Аттрактор системы теперь уже состоит из двух точек Х0 и X,. Эта состояние системы уже не стабильно, хотя его еще можно считать устойчивым.

При этом, некоторое значение к0 определяет точку бифуркации: систему в точке к0 можно привести к стабильному состоянию со значением Х0 и X, с помощью малого дополнительного воздействия.

При увеличении к свыше к0 количество точек аттрактора возрастает и система, соответственно, становится менее и менее устойчивой.

Наконец, при к больших некоторого значения Ц переменная X начинает принимать бесконечное число значений. Система полностью теряет устойчивость. Образуется хаос.

Анализ приведенного примера подсказывает две основные стратегии управления.

1. Управляя только параметром к, добиться стабильного состояния системы. В этом случае можно ориентироваться на традиционную схему управления, приведенную в §1 данной главы. Субъектом управления, в этом случае выступает банк А, а целью управления — создание стабильной банковской системы.

2. Попытаться повысить свои доходы, используя нестабильность системы. Для этого необходимо зафиксировать значение к0 параметра к. Система перейдет в самоуправляемое состояние с двумя возможными значениями параметра X: Х0 и Хг Путем малого постороннего воздействия необходимо «подтолкнуть» систему к «выбору» нужного значения X. После этого можно объявить X результатом «правильно организованного» самоуправления. Далее можно попытаться улучшить результат и перейти к точке бифуркации kr Последствия этого шага определяется известной пословицей: «либо пан, либо пропал», поскольку в случае ошибки управления система превращается в хаос.

Данный пример показывает, какую роль в управлении играют точки бифуркации. Эти точки можно выявлять, чтобы избежать их и сохранить систему в стабильном состоянии, но можно создавать специально, исходя из опеделен-ных целей управления. Более того, в любой реальной системе речь идет не об отдельной ситуации неустойчивости, а о целом каскаде бифуркаций.

Управление через нестабильное состояние системы с необходимостью подразумевает наличие, как минимум, двух взаимосвязанных управляющих воздействий:

• воздействие, создающее каскад бифуркаций;

• слабое целенаправленное (резонансное) воздействие в точках бифуркаций.

В общем виде, схема управления системой через ее нестабильность выглядит так, как показано на рис. 3.5.6.

Воздействие, создающее каскад бифуркаций направлено, как правило, на разрыв системных связей между управляв-

Рис. 3.5.6. Схема создания ситуаций нестабильности в самоуправляющейся системе

мым объектом и другими объектами системы. Потеряв или существенно ослабив системные связи, объект становится «подвижным» и очень чувствительным даже к слабым управляющим воздействиям.

Как известно, системные связи могут иметь материальный или информационный характер. В последнем случае речь идет об общности информационных моделей, которыми руководствуются объекты системы в своей деятельности. Дестабилизирующее воздействие направлено, как правило, на разрушение именно этих, информационных связей, то есть на деформацию всей информационной системы.

В неустойчивом состоянии слабое воздействие на систему может быть абсолютно незаметно для объекта управления. В этом случае он оказывается похожим на падающий камень, который по выражению философа Б. Спинозы (1632-77) думает, что он падает по своей воле. Это значит, что управляющее воздействие, равно как и его цель оказываются для объекта управления, во многом, анонимными.

Глава 4

Рандомно подобранные статьи с сайта:

3. Устойчивость систем управления


Похожие статьи:

admin