Вероятностно-статистические методы исследований

Во многих случаях в горной науке нужно изучить не только детерминированные, но и случайные процессы. Все геомеханические процессы протекают в непрерывно изменяющихся условиях, в то время, когда те либо иные события смогут случиться, а смогут и не случиться. Наряду с этим появляется необходимость разбирать случайные связи.

Не обращая внимания на случайный темперамент событий, они подчиняются определенным закономерностям, разглядываемым в теории возможностей, которая изучает теоретические распределения случайных их характеристики и величин. Методами анализа и обработки случайных эмпирических событий занимается вторая наука, так называемая математическая статистика. Эти две родственные науки составляют единую математическую теорию массовых случайных процессов, обширно используемую в научных изучениях.

Элементы теории возможностей и матстатистики. Под совокупностьюпонимают множество однородных событий случайной величины х, которая образовывает первичный статистический материал. Совокупность возможно главной (громадная выборка N), содержащей самые разные варианты массового явления, и выборочной (малая выборка N1), являющейся только часть главной совокупности.

Возможностью Р(х) события х именуют отношение числа случаев N(х), каковые приводят к наступлению события х, к неспециализированному числу вероятных случаев N:

. (4.51)

В математической статистике аналогом возможности есть понятие частости события , являющейся отношение числа случаев , при которых имело место событие, к неспециализированному числу событий:

. (4.52)

При неограниченном возрастании числа событий частость пытается к возможности Р(х).

Допустим, имеются какие-то статистику, представленные в виде последовательности распределения (гистограммы) на рис. 4.11, тогда частость характеризует возможность появления случайной величины в промежутке і, а плавная кривая носит название функции распределения.

Возможность случайной величины – это количественная оценка возможности ее появления. Точное событие имеет Р=1, неосуществимое событие – Р=0. Следовательно, для случайного события , а сумма возможностей всех вероятных значений .

В изучениях не хватает иметь кривую распределения , а нужно знать и ее характеристики:

а) среднеарифметическое – ; (4.53)

б) размах – R = xmax – xmin, что возможно применять для ориентировочной оценки вариации событий, где xmax и xmin – экстремальные значения измеренной величины;

в) математическое ожидание – . (4.54)

Для постоянных случайных размеров математическое ожидание записывается в виде

, (4.55)

т.е. равняется настоящему значению замечаемых событий х, а соответствующая матожиданию абсцисса именуется центром распределения.

г) дисперсия – , (4.56)

которая характеризует рассеяние случайной величины по отношению к математическому ожиданию. Дисперсию случайной величины в противном случае еще именуют центральным моментом второго порядка.

Для постоянной случайной величины дисперсия равна

; (4.57)

д) среднеквадратичное отклонение либо стандарт –

. (4.58)

е) коэффициент вариации (относительное рассеяние) –

, (4.59)

что характеризует интенсивность рассеяния в разных совокупностях и используется для их сравнения.

Площадь, расположенная под кривой распределения , соответствует единице, это указывает, что кривая охватывает все значения случайных размеров. Но таких кривых, каковые будут иметь площадь, равную единице, возможно выстроить много, т.е. они смогут иметь разное рассеяние. Мерой рассеяния и есть дисперсия либо среднеквадратичное отклонение (рис. 4.12).

Выше мы разглядели главные характеристики теоретической кривой распределения, каковые разбирает теория возможностей. В статистике оперируют эмпирическими распределениями, а главной задачей статистики есть подбор теоретических кривых по имеющемуся эмпирическому закону распределения.

Пускай в следствии n измерений случайной величины взят вариационный последовательность х1, х2, х3, … хn. Обработка таких последовательностей сводится к следующим операциям:

– собирают хі в промежутке и устанавливают для каждого из них полную и относительные частости ;

– по значениям строят ступенчатую гистограмму (рис. 4.11);

– вычисляют характеристики эмпирической кривой распределения: среднеарифметическое дисперсию Д= ; среднеквадратичное отклонение .

Значениям , Д и s эмпирического распределения соответствуют величины , Д(х) и s(х) теоретического распределения.

Разглядим главные теоретические кривые распределения. Чаще всего в изучениях используют закон обычного распределения (рис. 4.13), уравнение которого при имеет форму:

(4.60)

В случае если совместить ось координат с точкой m, т.е. принять m(x)=0 и принять , закон обычного распределения будет описываться более несложным уравнением:

(4.61)

Для оценки рассеяния в большинстве случаев пользуются величиной . Чем меньше s,тем меньше рассеяние, т.е. наблюдения слабо отличается друг от друга. С повышением s рассеяние возрастает, возможность погрешностей возрастает, а максимум кривой (ордината), равный , значительно уменьшается. Исходя из этого значение у=1/ при 1 именуют мерой точности. Среднеквадратичные отклонения и соответствуют точкам перегиба (заштрихованная область на рис. 4.12) кривой распределения.

При анализе многих случайных дискретных процессов применяют распределение Пуассона (кратковременные события, протекающие в единицу времени). Возможность появления чисел редких событий х =1, 2, … за этот отрезок времени выражается законом Пуассона (см. рис. 4.14):

, (4.62)

где х – число событий за этот отрезок времени t;

? – плотность, т.е. среднее число событий за единицу времени;

– среднее число событий за время t;

Для закона Пуассона дисперсия равна математическому ожиданию числа наступления событий за время t , т.е. .

Для изучения количественных черт некоторых процессов (времени отказов автомобилей и т.д.) используют показательный закон распределения (рис. 4.15), плотность распределения которого выражается зависимостью

, (4.63)

где ? – интенсивность (среднее число) событий в единицу времени.

В показательном распределении интенсивность ? есть величиной, обратной математическому ожиданию ?= 1/m(x). Помимо этого, справедливо соотношение .

В разных областях изучений активно используется закон распределения Вейбулла (рис. 4.16):

, (4.64)

где n, ?, – параметры закона; х – довод, значительно чаще время.

Исследуя процессы, которые связаны с постепенным понижением параметров (понижением прочности пород во времени и т.д.), используют закон гамма-распределения (рис. 4.17):

, (4.65)

где ?, a – параметры. В случае если a=1, гамма функции преобразовывается в показательный закон.

Не считая вышеприведенных законов используют и другие виды распределений: Пирсона, Рэлея, бета – распределение и пр.

Дисперсионный анализ.В изучениях довольно часто появляется вопрос: В какой мере воздействует тот либо другой случайный фактор на исследуемый процесс? Способы установления главных факторов и их влияние на исследуемый процесс рассматриваются в особом разделе математической статистики и теории вероятностей – дисперсионном анализе. Различают одно – и многофакторный анализ. Дисперсионный анализ основывается на применении обычного закона распределения и на догадке, что центры обычных распределений случайных размеров равны. Следовательно, все измерения возможно разглядывать как выборку из одной и той же обычной совокупности.

Теория надежности.Способы математической статистики и теории вероятностей довольно часто используют в теории надежности, которая обширно употребляется в разных отраслях науки и техники. Под надежностью знают свойство объекта делать заданные функции (сохранять установленные эксплуатационные показатели) в течение требуемого периода времени. В теории надежности отказы рассматриваются как случайные события. Для количественного описания отказов используют математические модели – функции распределения промежутков времени (обычное и экспоненциальное распределение, Вейбулла, гамма-распределения). Задача пребывает в нахождении возможностей разных показателей.

Способ Монте-Карло.Для изучения сложных процессов вероятностного характера используют способ Монте-Карло.Посредством этого способа решают задачи по нахождению наилучшего ответа из множества разглядываемых вариантов.

Способ Монте-Карло в противном случае еще именуют способом статистического моделирования. Это численный способ, он основан на применении случайных чисел, моделирующих вероятностные процессы. Математической базой способа есть закон солидных чисел, что формулируется следующим образом: при солидном числе статистических опробований возможность того, что среднеарифметическое значение случайной величины пытается к ее математическому ожиданию, равна 1:

, (4.64)

где ? – любое малое положительное число.

Последовательность ответа задач способом Монте-Карло:

– сбор, анализ и обработка статистических наблюдений;

– отбрасывание и отбор главных второстепенных факторов и составление математической модели;

решение задач и составление алгоритмов на ЭВМ.

Для решения задач способом Монте-Карло нужно иметь статистический последовательность, знать закон его распределения, среднее значение , среднеквадратичное отклонение и математическое ожидание. Ответ действенно только с применением ЭВМ.

Typ


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: