Возрастающие и убывающие функции

Среди множества функций имеется функции, значения которых с повышением довода лишь возрастают либо лишь убывают. Такие функции именуются возрастающими либо убывающими.

Функция y = f(x) именуется возрастающейв промежутке а x b, в случае если для любых х1 и х2, принадлежащих этому промежутку, при х1 х2 имеет место неравенство f(x1) f(x2).

Функция y = f(x) именуется убывающей в промежутке а x b, в случае если для любых х1 и х2, принадлежащих этому промежутку, при х1 х2 имеет место неравенство f(x1) f(x2).

Как возрастающие, так и убывающие функции именуются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает либо убывает, – промежутками монотонности.

К примеру, функция при монотонно убывает, а при монотонно возрастает. Функция на всей числовой оси монотонно возрастает.

Предел функции в точке

2.1. Число А именуется пределом функции f(x) при , в случае если для любого числа ?0 возможно указать такое ?0, что для любого , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство . В этом случае пишут .

В случае если число А1 (число А2) имеется предел функции y = f(x) при x, стремящемся к a так, что х принимает лишь значения, меньшие (громадные) а, то А1 (А2) именуется левым (правым) пределом функции f(x) в точке а. Наряду с этим соответственно пишут .

2.2. Постоянная величина b именуется пределом функции ?(x) при x стремящемся к x0 (x x0), в случае если для всех x сколь угодно слабо отличается от x0 соответствующие значения функции ?(x) сколь угодно слабо отличается от b. Другими словами, при x x0 , ? (x) b, .

Замечание:

x может пытается не только к конечному x0 , но и к бесконечности (x ?), и к нулю (x0).

Функция f(x) именуется вечно малой при , в случае если .

Функция f(x) именуется вечно большой при , в случае если .

Теоремы о пределах

1 В случае если функция y= ?(x) имеет предел при x0, то данный предел единственный.

2 Предел постоянной величины равен данной же постоянной , независимо от того, к чему пытается переменная.

, где С= const (1)

3 Предел алгебраической суммы конечного числа функций, имеющих конечные пределы, равен алгебраической сумме пределов всех слагаемых.

(2)

3 Предел произведения конечного числа функций, имеющих конечные пределы, равен произведению пределов сомножителей.

(3)

4 Предел частного двух функций, имеющих пределы, равен отношению знаменателя и пределов числителя, в случае если предел знаменателя не равен нулю.

, где (4)

5 Постоянный множитель возможно выносить за символ предела:

, где С= const (5)

Виды неопределенностей

1

, ,

К примеру:

2

, ,

К примеру:

3

, ,

К примеру:

4

, ,

К примеру:

, где c = const

5

, ,

К примеру:

Превосходные пределы

Первый превосходный предел: . (6)

Второй превосходный предел: . (7)

В случае если предел отношения двух бесконечно малых размеров равен единице, то эти бесконечно малые величины именуются эквивалентными.

Непрерывность функции

Ещё одним серьёзным свойством есть свойство непрерывности функции.

Разглядим примеры. Поставили кипятить воду. С течением времени температура воды увеличивается. Но как? Неспешно, другими словами за небольшой временной отрезок, температура повысится незначительно.

Подобно, маленьким промежуткам времени отвечают малые трансформации температуры воздуха.

Наглядное представление о постоянной функции пребывает в том, что график таковой функции возможно начертить одним постоянным перемещением, не отрывая карандаша от бумаги. На рисунке 1 изображена некая постоянная функция.

Функция f(x) именуется постоянной в точке х = х0, в случае если:

1 эта функция выяснена в точке х = х0 (другими словами определённому значению довода х, равному х0, соответствует в полной мере определённое значение функции y, равное y0);

2 приращение функции в точке х0 пытается к нулю при , другими словами

(8)

Геометрически непрерывность функции свидетельствует, что ординаты двух точек графика сколь угодно слабо отличается друг от друга, в случае если достаточно слабо отличается их абсциссы. Довольно часто пользуются вторым определением непрерывности функции в точке.

Функция f(x) именуется постоянной в данной точке х0, в случае если её предел в точке х0 существует и равен значению функции в данной точке.

Функция именуется постоянной на отрезке , если она постоянна в каждой точке этого отрезка.

Исследуем на непрерывность функцию .

Ответ. Пускай приращение довода х равняется ?х, тогда функция y возьмёт какое-то приращение ?y. Имеем

,

откуда

.

Разумеется, что при любом фиксированном значении х и при ?х, стремящемся к нулю, ?y кроме этого пытается к нулю, другими словами функция постоянна при любом значении х.

Вычисление пределов

Разглядим кое-какие примеры вычисления пределов функций.

№ 1 Вычислить пределы:

a) ;

б) ;

в) ;

г) .

Ответ

а) Пользуясь теоремами о пределах, возьмём

б)

Чтобы раскрыть неопределенность в данном пределе поделим почленно знаменатель и числитель на x в старшей степени в данном выражении, т.е. на x4 . Возьмём

в) Используя теоремы о пределах, обнаруживаем, что , другими словами, знаменатель дроби обращается в нуль. Значит, теорему о пределах дроби тут до тех пор пока применить запрещено. Но потому, что и предел числителя , то чтобы раскрыть оказавшуюся неопределенность, мы разложим знаменатель и числитель на множители

Сокращение дроби на (x-1)тут быть может, потому, что x1 , но x ? 1и множители (x-1) в нуль не обращаются, а являются эквивалентными вечно малыми размерами при x1, отношения которых равняется единице

г) . В случае если воспользоваться теоремами о пределах и подставить x = 2 в правую часть вместо x, то возьмём неопределенность . Неопределенность возможно устранить, в случае если выделить и сократить эквивалентные бесконечно малые в знаменатель и числитель. Разложим знаменатель на множители, а в числителе вынесем за скобку 3. Возьмём

Тут дробь возможно сократить на x-2, так как x2, но x?2.

Вопросы для повторения

1 Сформулируйте определение функции.

2 Что именуется областью определения функции?

3 Что именуется областью значения функции?

4 Какими методами возможно задана функция?

5 Какие конкретно функции именуются чётными?

6 Какие конкретно функции именуются нечётными?

7 Какие конкретно функции именуются возрастающими?

8 Какие конкретно функции именуются убывающими?

9 Дайте определение предела функции.

10 Перечислите свойства пределов.

11 Перечислите виды неопределённостей.

12 Запишите первый и второй превосходный пределы.

13 Дайте определение функции постоянной в точке и на отрезке.

Возрастающие и убывающие функции.avi


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: