Высказывания и операции над ними. формулы

Высказыванием именуется всякое утверждение, о котором возможно в полной мере определенно и объективно сообщить действительно оно либо ложно.

К примеру, утверждение 2 0 есть высказыванием и оно действительно, а утверждение 2 0 — ложно, утверждение x2 + y2 = z2 высказыванием не есть, поскольку оно возможно, как подлинным, так и фальшивым при разных значениях переменных x, y, z. Высказывание всецело определяется своим истинностным значением. Условимся, значение истинности высказывания обозначать 1, в случае если высказывание действительно, и 0, в случае если высказывание ложно, что в точности соответствует значениям переменных булевых функций.

Различают высказывания простые и сложные, высказывание именуется несложным, в случае если никакая его часть не есть высказыванием. Простые высказывания будем обозначать начальными большими буквами латинского алфавита A, B, C либо A1, A2, . . .. Сложные высказывания характеризуются тем, что образованы из нескольких несложных высказываний посредством логических операций, т.е. являются формулами алгебры высказываний.

Отметим, что алгебраической структурой либо алгеброй именуется структура, грамотный некоторым множеством вместе с введенными на нём операциями. Определим алгебру высказываний.

Обозначим через B = {0, 1} – множество высказываний. Определим операции на множестве B.

Отрицанием высказывания A именуется высказывание, которое принимает значение истина, в случае если A ложно, и напротив. Отрицание обозначается (OА) и есть унарной операцией.

Пускай А и В — кое-какие высказывания, введем двоичные операции над ними.

Конъюнкцией высказываний A и B именуется высказывание, которое принимает значение истина тогда и лишь тогда, в то время, когда подлинны оба высказывания A и B. Обозначается конъюнкция — A B (АВ).

Дизъюнкцией высказываний A и B именуется высказывание, которое принимает значение истина, в случае если действительно хотя бы одно из высказываний A либо B. Обозначается дизъюнкция — A B.

Импликацией высказываний A и B именуется высказывание, которое принимает значение неправда тогда и лишь тогда, в то время, когда A действительно, а B ложно. Обозначается А®В.

Эквиваленцией высказываний A и B именуется высказывание, которое принимает значение истина тогда и лишь тогда, в то время, когда высказывания A и B имеют однообразные значения. Обозначение операции — А~В (АºВ).

Логические операции определяются, кроме этого, посредством таблиц, именуемых таблицами истинности. Приведем сводную для всех введенных логических операций.

A B OA AUB AUB A®B A~B

Пропозициональной (высказывательной) переменной именуется переменная, значениями которой являются простые высказывания. Обозначим высказывательные переменные через X1, X2, . . . , Xn.

Понятие формулы алгебры высказываний вводится по индукции. Формулами алгебры высказываний являются:

1) логические константы 0 и 1;

2) пропозициональные переменные;

3) в случае если АиВ –формулы, то каждое из выражений O(А), (А)U (В), (А)U (В), (А)® (В), (А) ~ (В) имеется формула;

4) вторых формул, не считая выстроенных по пп. 1) — 3), нет.

Обозначим через M – множество всех формул алгебры высказываний, M есть замкнутым довольно логических операций.

Для формулы выстроенной по п. 3 формулы Aи B именуются подформулами. Число скобок в формуле возможно сократить, Порядок исполнения операций в формуле определяется их приоритетом. Перечень логических операций в порядке убывания приоритета: ~. Изменение порядка исполнения операций, как и в алгебраических операциях, производится посредством круглых скобок.

Пускай U– формула над высказывательными переменными X1, X2, . . . , Xn, обозначается U(X1, X2, . . . , Xn). Комплект конкретных значений высказывательных переменных X1, X2, . . . , Xn именуется интерпретацией формулы Uи обозначаетсяI(U).

Формула именуется выполнимой, в случае если существует таковой комплект значений переменных, при которых эта формула принимает значение 1 (существует интерпритация I(U), на которой формула подлинна).

Формула именуется опровержимой, в случае если существует таковой комплект значений переменных, при которых эта формула принимает значение 0 (существует интерпритация I(U), на которой формула фальшива).

Формула именуется тождественно подлинной (ТИ-формулой) либо тавтологией, в случае если эта формула принимает значение 1 при всех комплектах значений переменных (формула подлинна на всех интерпретациях).

Формула именуется тождественно фальшивой (ТЛ-формулой) либо несоответствием, в случае если эта формула принимает значение 0 при всех комплектах значений переменных (формула фальшива на всех интерпретациях).

Формулы А и В именуются эквивалентными (обозначается А º В), в случае если при любых значениях высказывательных переменных значение формулы Асовпадает со значением формулы В.

Задачи определения эквивалентности, выполнимости, опровержимости, ложности формул и тождественной истинности смогут решаться посредством построения таблиц истинности, но существуют менее громоздкие методы ответа этих задач.

действия 3: и Лекция Высказывания над ними


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: