Задачи для контрольной работы №2.

Верховная МАТЕМАТИКА

контрольная работа и Методические указания №2

Для студентов Гродненского филиала кафедры

«технологии и Информационные системы»

МИДО БНТУ

специальность

«управление и Экономика на предприятии»

Номер варианта задания сходится с последней цифрой номера зачётной книжки студента (цифра 0 соответствует 10-му варианту)

Ответ типового варианта.

Задача 1.Отыскать предел последовательности

а) б) в) г)

д) е) ж)

Ответ.

а) знаменатель и Числитель дроби являются вечно громадными последовательностями, т.е. имеет место неопределённость вида . Поделим знаменатель и числитель на старшую степень дроби, т.е. на и применяя теоремы об операциях над пределами, возьмём б) В знаменателе имеется неопределённость вида . Умножив знаменатель и числитель дроби на выражение и, по окончании исполнения тождественных преобразований, поделив знаменатель и числитель на , возьмём

в) Тут имеет место неопределённость вида . Поделим знаменатель и числитель дроби на :

г) В данном примере имеется неопределённость вида . Преобразуем неспециализированный член последовательности:

д) Числовая последовательность является суммой участников двух геометрических прогрессий. Используя формулу суммы первых участников геометрической прогрессии, возьмём:

Тогда

е) Потому, что , а , то

ж) Учитывая, что , имеем:

Задача 2.Отыскать предел функции не пользуясь правилом Лопиталя

а) б) в) г)

д) е) ж) з)

Ответ.

а) Потому, что пределы знаменателя и числителя равны нулю, мы имеем дело с неопределённостью вида . Дабы избавиться от неё, разложим знаменатель и числитель на множители и сократим дробь на :

б) Для раскрытия неопределённости вида сделаем следующие преобразования:

в) Сделаем замену , тогда и при . Из этого

г) Положим , из этого приобретаем, что и при . Так

д) Имеем .

Сделаем замену , из этого и при . Тогда, учитывая, что , находим

е) В данном примере предел основания степени равен 1, а показатель пытается к бесконечности, значит имеет место неопределённость вида . Применяя второй превосходный предел, приобретаем:

ж) Положим , тогда и при . Следовательно

з) Тут имеется неопределённость вида .Для её раскрытия приведём дроби к неспециализированному знаменателю:

Задача 3.Отыскать производную заданной функции

а)

б)

в)

г)

Ответ.

Используя правила дифференцирования и применяя таблицу производных, находим:

а)

б)

в)

Прологарифмируем обе части:

Продифференцируем обе части

г) Дифференцируя обе части равенства, имеем

Т.к. по условию , то приобретаем

Задача 4.Дана функция в точке и

а) Установить есть ли функция постоянной в этих точках

б) Отыскать пределы слева и справа

в) Сделать схематический чертеж

Ответ:

В точке x = 0 функция постоянна, т.е.

В точке x = 2

предел слева

предел справа

Схематичный чертеж на рис 1

Рисунок 1

Задача 5.

x + 1, в случае если x ? 0

Дана функция y = x2, в случае если 0 x ? 2

½ x + 3 , в случае если x ? 2

Отыскать точки разрыва, если они существуют сделать чертеж.

Ответ:

График функции изображен на рисунке

В точке x = 0 разрыв первого рода т.к.

В точке x = 2 разрыва нет.

В остальных точках функция постоянна.

Задача 6.Применяя правило Лопиталя вычислить пределы:

а)

б)

в)

г)

Имеем неопределённость вида . Положим и прологарифмируем обе части равенства

Отыщем

Потому, что , то

Задача 7.Изучить функцию и выстроить её график:

Ответ: Приведём схему полного изучения функции

1. Область определения функции

2. Чётность, нечётность, переодичность

3. Точки разрыва функции; приделы при финишам промежутков области определения; асимптоты

4. убывания функции и Интервалы возрастания, точки экстремума; вычислить значения экстремумов

5. точки перегиба и Интервалы выпуклости

6. Точки пересечения графика с осями координат

7. График

1. Функция выяснена, в случае если , значит

2. Т.к. область определения функции не есть симметричным множеством относительно начала координат, то функция не может быть чётной, нечётной и периодической.

3. Отыщем пределы функций при финишам промежутков области определения

Подобно, приобретаем что

Потому, что

, то точка — точка разрыва второго рода, а — вертикальная асимптота.

Отыщем наклонные асимптоты , где

Следовательно, — уравнение наклонной асимптоты

4. Производная

выяснена на

Потому, что при , , то это критические точки функции. Так как

при

при

то на промежутках , функция возрастает, а на промежутке

— убывает.

При функция имеет максимум, т.к. переходе через эту точку меняет символ с «+» на « ».

, значит точка — точка максимума.

5. Находим вторую производную

Она выяснена для . Потому, что при , то выяснив символ на каждом из промежутков , возьмём, что для

, график выпуклый; для график вогнутый.

При переходе через точку производная меняет символ, исходя из этого — точка перегиба, причём .

6. График функции пересекает координатные оси в т. .

Задача 8.Разложить число 100 на два слагаемых так, дабы их произведение было громаднейшим.

Ответ.Пускай — первое слагаемое, будет второе слагаемое.

Произведение этих слагаемых даёт функцию .

По условию задачи . Отыщем экстремумы данной функции , ,

то при функция достигает максимума.

следовательно функция принимает громаднейшее значение в критической точке .

Ответ: Произведение двух слагаемых будет громаднейшее, если они равны 50.

Задача 9.Отыскать неизвестные интегралы. В пунктах a) и b) проверить результаты дифференцированием.

a.

Преобразуем подынтегральную функцию так, дабы в числителе оказалась производная знаменателя:

Удостоверимся в надежности полученный итог:

b.

Воспользуемся способом интегрирования по частям, основанном на следующей формуле:

Выполним диагностику результата:

c.

Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим её знаменатель на множители: тогда:

Приведя правую часть последнего равенства к неспециализированному знаменателю, и приравняв числители дробей, возьмём тождество:

Отыщем искомые коэффициенты:

а) полагая , приобретаем , откуда ;

б) полагая , приобретаем , откуда ;

в) полагая , приобретаем , откуда ;

Подставив отысканные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на несложные дроби, возьмём:

d.

Подынтегральная функция является интегралом вида:

Где — рациональная функция; — целые положительные числа. Посредством подстановки (тут — мельчайшее неспециализированное кратное (НОК) знаменателей ) этот интеграл приводится к интегралу от рациональной функции.

Задача 10.Вычислить несобственные интегралы либо доказать их расходимость:

a)

b)

Задача 11.a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и .

Выстроим графики данных кривых:

Отыщем точки пересечения данных кривых:

Тогда по формуле

имеем:

Совсем имеем:

Задачи для контрольной работы №2.

Задача 1.Отыскать предел последовательности

1.а) б) в)

г) д) е) ж)

2.а) б) в) г) д) е) ж)

3.а) б) в) г) д) е) ж)

4.а) б) в) г) д) е) ж)

5.а) б) в) г)

д) е) ж)

6.а) б) в) г) д) е) ж)

7а) б) в) г)

д) е) ж)

8.а) б) в)

г) д) е) ж)

9.а) б) в) г) д) е) ж)

10.а) б) в) г) д) е) ж)

Задача 2.Отыскать предел функции не пользуясь правилом Лопиталя;

1. а) б) в) г)

д) е) ж)

2. а) б) в) г)

д) е) ж)

3.а) б) в) г)

д) е) ж)

4. а) б) в) г)

д) е)

5.а) б) в) г)

д) е) ж)

6.а) б) в) г)

д) е) ж)

7.а) б) в) г)

д) е) ж)

8.а) б) в) г)

д) е) ж)

9. а) б) в) г)

д) е) ж)

10. а) б) в) г)

д) е) ж)

Задача 3.Отыскать производные данных функций

1.

а) б)

в) г)

2.

а) б)

в) г)

3.

а) б)

в) г)

4.

а) б)

в) г)

5.

а) б)

в) г)

6.

а) б)

в) г)

7.

а) б)

в) г)

8.

а) б)

в) г)

9.

а) б)

в) г)

10.

а) б)

в) г)

Задача 4.Заданы функции и два значения довода и .

Требуется

а) установить, есть ли эта функция постоянной либо разрывной для каждого из данных значений довода;

б) при разрыва функции отыскать ее пределы слева и справа;

в) сделать схематический чертеж

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задача 5.Задана функция . Отыскать точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

, в случае если

1. , в случае если

, в случае если

, в случае если

2. , в случае если

, в случае если

, в случае если

3. , в случае если

, в случае если

, в случае если

4. , в случае если

, в случае если

, в случае если

5. , в случае если

, в случае если

, в случае если

6. , в случае если

, в случае если

, в случае если

7. , в случае если

, в случае если

, в случае если

8. , в случае если

2 , в случае если

, в случае если

9. , в случае если

2 , в случае если

, в случае если

10. , в случае если

1 , в случае если

Задача 6.Применяя правило Лопиталя вычислить пределы:

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

4. а) б)

5. а) б)

6. а) б)

7. а) б)

8. а) б)

9. а) б)

10. а) б)

Задача 7.Изучить способами дифференциального исчисления функцию и, применяя результаты изучения, выстроить её график.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Задача 8.

1. Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объема V цилиндрической формы. Каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, дабы на изготовление ведра ушло мельчайшее количество материала?

2. Отыскать радиус основания и высоту цилиндра громаднейшего количества, что возможно вписать в шар радиуса ?

3. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь мельчайшую полную поверхность?

4. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного количества V. Цена квадратного метра материала, идущего на изготовление дна бака, равна руб., а стенок руб.. Каковы должны быть высота бака и радиус дна, дабы затраты на материал для его изготовления были мельчайшими?

2 класс. Контрольная работа №1. вычитание и Сложение двузначных чисел. Петерсон.


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: