Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей

7.1. Измерение тесноты связи между результативным и факторными показателями 135

7.2. Анализ влияния отдельных факторных показателей на результативный показатель 145

7.3. ПРАКТИЧЕСКИЙ БЛОК 148

7.4. Независимая РАБОТА СТУДЕНТОВ 166

7.1. Измерение тесноты связи между результативным и факторными показателями.

7.1.1. Линейная корреляция.

1. Несложная линейная корреляция при несгруппированных данных.

В случае если между двумя явлениями х и у существует линейное стохастическое соотношение – линейная регрессия, то степень интенсивности связи возможно измерить посредством коэффициента корреляции rxy. Корреляция в широком смысле слова свидетельствует сообщение, соотношение между объективно процессами и существующими явлениями. Соотношение между корреляцией и регрессией возможно представить в виде следующей схемы, предложенной Браве и Пирсоном.

Пускай заданы значения переменных х и у, между которыми существует линейное соотношение.

у, х – средние значения переменных либо их математические ожидания;

n – число совершённых наблюдений;

?х– стандартное отклонение х;

?у – стандартное отклонение у.

Представим уравнение

в эквивалентном виде

В данной совокупности величина

показывает, на какое количество размеров ?у изменится в среднем у, в то время, когда х увеличится на одно ?х.

Величина r есть показателем тесноты связи и именуется выборочным коэффициентом корреляции либо несложным линейным коэффициентом корреляции либо парным коэффициентом либо легко коэффициентом корреляции.

Отметим другие модификации формулы для r.

В данной формуле ?х и ?у – выборочные средние квадратические отклонения для переменных х и у, а ?ху– выборочный корреляционный момент либо выборочная ковариация.

Определение. Ковариацией случайных размеров х и у именуется математическое ожидание произведения отклонений этих размеров от своих математических ожиданий, т.е.

Ковариация двух случайных размеров характеризует как степень связи случайных размеров, так и их рассеяние около точки (х, у). Ковариация – величина размерная, что затрудняет ее применение для оценки степени зависимости случайных размеров. Коэффициент корреляции лишен этих недочётов.

Для практических расчетов самый эргономична следующая формула

По ней коэффициент корреляции находится из данных наблюдений и на его значении не скажутся округления данных, которые связаны с расчетом отклонений и средних от них.

Коэффициент корреляции владеет следующими особенностями:

– Принимает значения на отрезке от –1 до 1, т.е. -1?r? 1. Чем ближе | rух | к 1, тем теснее сообщение.

– При rух = ±1 корреляционная сообщение представляет собой линейную функциональную зависимость. Наряду с этим все замечаемые значения находятся на прямой линии. При r = 1 между отклонениями хi – х и уi – усуществует взаимосвязь, а при r= -1 обратная.

– r = 0 показывает на отсутствие линейной связи между переменными, а не на отсутствие связи по большому счету. Наряду с этим линия регрессии параллельна оси «Ох».

– При вычислении коэффициента корреляции для линейной регрессии безразлично, какая переменная есть зависимой, а какая растолковывающей, т.е. rух = rху.

Коэффициент корреляции не изменится, в случае если переменные подвергнуть преобразованию либо поменять их единицы измерения.

2. Несложная линейная корреляция при сгруппированных данных.

Отклонения хj – х взвешиваем по частотам gij-го промежутка значений растолковывающей переменной х, отклонения уk – у – по частотам hkk-го промежутка зависимой переменной у, а произведение отклонений (хj – х)(ук – у) – по условным частотам pkj.

Исходя из этого

Коэффициент корреляции, вычисленный по несгруппированному материалу более точен, чем коэффициент корреляции вычисленный по сгруппированным данным, поскольку свободен от погрешности вносимой группировкой данных.

3. Связь между коэффициентами корреляции, детерминации и регрессии.

Коэффициент а1 несложной линейной регрессии y = а0 + а1x переменной у на х определяется отношением

Коэффициент корреляции определяется следующим соотношением:

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции, именуемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации для несложной линейной регрессии (парной детерминации) определяется следующим соотношением:

Это отношение показывает, какая часть неспециализированного рассеяния значений у обусловлена изменчивостью переменной х. Это соотношение возможно преобразовать:

В случае если коэффициент детерминации равен 1, то все эмпирические эти лежат на корреляционной прямой, а если он равен 0, то ни о какой численной линейной зависимости переменной у от х в статистическом понимании не может быть и речи. Коэффициент детерминации – безразмерная величина, не реагирующая на преобразования переменных.

С коэффициентом детерминации связано понятие меры неопределенности регрессии:

Разглядим сейчас сопряженную регрессию:

Тогда

и исходя из этого

4. Линейная множественная корреляция. Личная корреляция.

Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи разглядываемого комплекта факторов с исследуемым показателем, либо, в противном случае, оценивает тесноту совместного влияния факторов на итог. Независимо от формы связи показатель множественной корреляции возможно отыскан по формуле как индекс множественной корреляции

где ?у2– неспециализированная дисперсия результативного показателя,

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше либо равняется большому парному индексу корреляции:

= 1, 2, …m

При линейной зависимости показателей формула индекса корреляции возможно представлена и через стандартизированные коэффициенты регрессии следующим образом:

rухi – парные коэффициенты корреляции результата с каждым причиной.

Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии стала называться линейного коэффициента множественной корреляции, либо, совокупного коэффициента корреляции.

При линейной зависимости вероятно так же определение совокупного коэффициента корреляции через матрицу парных коэффициентов корреляции

Эта формула разрешает определять совокупный коэффициент корреляции, не обращаясь наряду с этим к уравнению множественной регрессии, а применяя только парные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты (либо индексы) корреляции, измеряющие влияние науфактора хiпри неизменном уровне вторых факторов, возможно выяснить по формуле

либо по рекуррентной формуле

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до 1. Уровень качества выстроенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Он рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции: R2yx1…xm.

5. Влияние неучтенных факторов на коэффициент корреляции.

На коэффициент корреляции при экономических расчетах смогут оказывать влияние следующие факторы:

— географический фактор: природно-климатические и физико-географические условия;

— фактор времени: направляться учитывать, за какой период по экономическим данным вычисляется коэффициент корреляции – за месяц, квартал, год;

— однородность группировки социально-экономических явлений по комплексу показателей. Исследователь обязан располагать теоретически обоснованным критерием определения статистической однородности.

7.1.2. Нелинейная корреляция.

1. Нелинейная корреляция для парного уравнения регрессии.

Уравнение нелинейной регрессии, как и в линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, в частности индексом корреляции:

где Так как

то индекс корреляции возможно выразить как


Величина данного показателя находится в границах: 0?R?1, чем ближе к единице, тем теснее сообщение разглядываемых показателей, тем более надежно отысканное уравнение регрессии.

В случае если нелинейное довольно растолковываемой переменной уравнение регрессии при линеаризации принимает форму линейного уравнения парной регрессии, то для оценки тесноты связи возможно использован линейный коэффициент корреляции, величина которого в этом случае сходится с индексом корреляции Rху= rуz, где z – преобразованная величина показателя-фактора, к примеру, z = 1/x либо z = lnx.


Обратимся для примера к равносторонней преувеличению y = b + a/x. Заменив 1/x на z, имеем линейное уравнение y = b + az, для которого возможно выяснен линейный коэффициент корреляции: r=a?sz/sy . Возводя данное выражение в квадрат, возьмём:

Преобразовывая потом, придем к следующему выражению для

следовательно,

Но так как

и , то

Так, приходим к формуле индекса корреляции

Заменив потом zна 1/х, возьмём , соответственно . Подобно для других функций аналогичного вида, в которых образования в линейный вид не затрагивают зависимую переменную, и требование МНК выполнимо.

В противном случае обстоит дело, в то время, когда преобразования уравнения в линейную форму связаны с зависимой переменной. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям показателей дает только приближенную оценку тесноты связи и численно не сходится с индексом корреляции.

К примеру, при степенной функции по окончании перехода к логарифмически линейному уравнению возможно отыскан линейный коэффициент корреляции не для фактических значений х и у, а для их логарифмов, другими словами . Соответственно квадрат его значения будет характеризовать отношение факторной суммы квадратов отклонений к неспециализированной, но не для у, а для его логарифмов:

В это же время при расчете индекса корреляции употребляются суммы квадратов отклонений показателя у, а не их логарифмов. С целью этого определяются теоретические значения результативного показателя, другими словами у, как антилогарифм вычисленной по уравнению величины lny и остаточная сумма квадратов как . Индекс корреляции определяется по формуле

В знаменателе расчета участвует сумма квадратов отклонений фактических значений уот их средней величины, а в расчете участвует . Соответственно различаются числители разглядываемых показателей:

– в индексе корреляции и – в коэффициенте корреляции.

Нужно кроме этого не забывать, что в случае если при линейной зависимости показателей сопряженные регрессии имеют одинаковый коэффициент корреляции, другими словами , то при криволинейной зависимости они не равны, другими словами .

Так как в расчете индекса корреляции употребляется соотношение факторной и неспециализированной суммы квадратов отклонений, то R2 имеет тот же суть, что и коэффициент детерминации. В особых изучениях величину R2 для нелинейных связей именуют индексом детерминации.

Оценка существенности индекса корреляции проводится, так же как и оценка надежности коэффициента корреляции. Индекс детерминации употребляется для проверки существенности в целом уравнения линейной регрессии по F –критерию Фишера:

,

где n– число наблюдений, m – число параметров при переменной х. Величина m характеризует число степеней свободы для факторной суммы квадратов, а (n-m-1) – число степеней свободы для остаточной суммы квадратов.

Индекс детерминации возможно сравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина коэффициента детерминации меньше индекса детерминации . Близость иx свидетельствует, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и возможно применять линейную функцию. В случае если , то предположение о линейной форме связи считается оправданным. В другом случае проводится оценка существенности различия и , вычисленных по одним и тем же исходным данным через t-критерий Стьюдента:

, где – неточность разности между и .

В случае если tф tт, то различия между разглядываемыми показателями корреляции значительны и замена нелинейной регрессии уравнением линейной функции неосуществима. В случае если t 2, то различия несущественны и, следовательно, вероятно использование линейной регрессии.

2. Нелинейная корреляция для множественного уравнения регрессии.

Для криволинейной зависимости, нелинейной по переменным, индекс множественной корреляции равен совокупному коэффициенту корреляции.

К примеру, пускай для компании модель прибыли у имеет форму

у = a0 + а1×1 + а2×2 + а3lnx3+ а4lnx4 ,

где х1 – удельные затраты на рекламу;

х2 – капитал компании;

х3 – часть продукции компании в общем количестве продаж данной группы товаров по региону;

х4 – процент повышения количества продаж компании если сравнивать с прошлым годом.

Тогда независимо от того, что фактор х1 задан линейно, а х2, х3, х4 – в логарифмах, оценка тесноты связи возможно произведена посредством линейного коэффициента множественной корреляции.

В противном случае обстоит дело с криволинейной регрессией, нелинейной по оцениваемым параметрам. Предположим, что рассматривается производственная функция Кобба-Дугласа:

, где P– количество продукции, L – затраты труда, К – величина капитала, b1+b2=1.

Логарифмируя ее, возьмём линейное уравнение в логарифмах

LnP = lna + b1lnL + b2lnK

Индекс детерминации для нелинейных по оцениваемым параметрам функции принять именовать «квазиR2» определения по функциям, применяющим логарифмические преобразования (степенная, экспонента), нужно отыскать сперва теоретические значения lny, после этого трансформировать их через антилогарифмы, другими словами отыскать теоретические значения результативного показателя и потом определять индекс детерминации как «квазиR2» по формуле

Величина индекса множественной корреляции, определенная как «квазиR2» не будет совпадать с совокупным коэффициентом корреляции.

Чтобы не допустить вероятного преувеличения тесноты связи, употребляется скорректированный индекс (коэффициент) множественной корреляции. Он содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле

, где n – число наблюдений, m – число факторов.

Чем больше величина m, тем посильнее различия между .

Для линейной зависимость показателей скорректированный коэффициент корреляции определяется по той же формуле, что и индекс множественной корреляции. Отличие содержится только в том, что в линейной зависимости под m понимается число факторов, включенных в анализ, а в криволинейной зависимости это число параметров при х. К примеру, в случае если y=f(x1,x2), то для линейной зависимости m = 2, а для регрессии вида

у = a0 + а1×12+а12×1 + а2×2 +а22×22

число параметров при х равняется 4, другими словами m = 4.

Экономический анализ


Также читать:

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: